Диспетчер скорой помощи за час приняла 500 звонков. Определите вероятность того что в течение следующего часа число звонков превысит 750
Для решения этой задачи начнем с понимания распределения вероятностей.
Мы можем предположить, что количество звонков в час следует пуассоновскому распределению. В данном случае:
- λ (параметр распределения) — это среднее количество событий (в данном случае звонков) за фиксированный промежуток времени. В нашем случае λ = 500.
Шаг 1: Определение вопроса
Нам нужно найти вероятность того, что количество звонков в следующем часу превысит 750. Эта вероятность записывается как:
\[ P(X > 750) \]
где \( X \) — это случайная величина, представляющая количество звонков.
Шаг 2: Использование свойств нормального распределения
Для того чтобы легче находить такие вероятности, мы можем использовать приближение нормальным распределением. Поскольку λ достаточно велико, то по теореме центральной предельной теоремы можно сказать, что \( X \) будет нормально распределена с параметрами:
- Среднее (μ) = λ = 500
- Дисперсия (σ²) = λ = 500, следовательно σ = √500 ≈ 22.36.
Шаг 3: Переход к стандартному нормальному распределению
Теперь мы можем расчитать стандартное нормальное распределение Z:
\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 500}{\sqrt{500}} \]
Для нашего случая, мы ищем Z, когда \( X = 750 \):
\[ Z = \frac{750 - 500}{\sqrt{500}} = \frac{250}{\sqrt{500}} ≈ \frac{250}{22.36} ≈ 11.18 \]
Шаг 4: Использование таблиц Z
Теперь мы можем найти вероятность \( P(Z > 11.18) \). Обычно в таблицах стандартного нормального распределения такие значения Z не встречаются, потому что они очень большие. Это значит, что вероятность того, что количество звонков превысит 750, практически равна 0.
Шаг 5: Заключение
Таким образом, вероятность того, что в следующий час количество звонков превысит 750, фактически равна 0.
Пуассоновское распределение и его приближение нормальным распределением позволяют нам делать такие выводы, используя свойства распределений и стандартные нормальные таблицы.
