Cos2x+√2cos(π/2+x) +1=0

Давайте решим уравнение \( \cos(2x) + \sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 1 = 0 \). ### Шаг 1: Упростим уравнение Первым делом, вспомним одну тригонометрическую функцию: \[ \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin(x) \] Теперь подставим это в наше уравнение: \[ \cos(2x) + \sqrt{2}(-\sin(x)) + 1 = 0 \] Это можно перезаписать как: \[ \cos(2x) - \sqrt{2}\sin(x) + 1 = 0 \] ### Шаг 2: Используем формулу для \(\cos(2x)\) Затем воспользуемся формулой для \(\cos(2x)\): \[ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1 \] Теперь подставим это выражение в уравнение: \[ 2\cos^2(x) - 1 - \sqrt{2}\sin(x) + 1 = 0 \] Упростим уравнение: \[ 2\cos^2(x) - \sqrt{2}\sin(x) = 0 \] ### Шаг 3: Подставим \(\cos^2(x)\) Мы знаем, что \(\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)\). Подставим это в уравнение: \[ 2(1 - \sin^2(x)) - \sqrt{2}\sin(x) = 0 \] Преобразуем: \[ 2 - 2\sin^2(x) - \sqrt{2}\sin(x) = 0 \] Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\sin(x)\): \[ -2\sin^2(x) - \sqrt{2}\sin(x) + 2 = 0 \] ### Шаг 4: Умножим на -1 Чтобы упростить, умножим уравнение на -1: \[ 2\sin^2(x) + \sqrt{2}\sin(x) - 2 = 0 \] ### Шаг 5: Решаем квадратное уравнение Рассмотрим это уравнение в стандартной форме \(a\sin^2(x) + b\sin(x) + c = 0\): - \(a = 2\) - \(b = \sqrt{2}\) - \(c = -2\) Используем формулу корней квадратного уравнения: \[ \sin(x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Рассчитаем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 2 + 16 = 18 \] Теперь подставим в формулу: \[ \sin(x) = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{18}}{2 \cdot 2} = \frac{-\sqrt{2} \pm 3\sqrt{2}}{4} \] Это дает два решения: 1. \(\sin(x) = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) 2. \(\sin(x) = \frac{-4\sqrt{2}}{4} = -\sqrt{2}\) (это не подходит, так как синус не может быть больше 1 или меньше -1) ### Шаг 6: Найдем значения \(x\) Теперь решим уравнение \(\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Это происходит в следующих quadrants: \[ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] ### Заключение: Таким образом, общее решение уравнения \( \cos(2x) + \sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) + 1 = 0 \) фактически сводится к значениям: \[ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]