Упражнение 5 из 5
Сообщить об ошибке
Игральный кубик бросили два раза. Событие
A
A — «при втором броске выпало меньше очков», событие
B
B — «сумма выпавших очков больше
5
5». Составь таблицу случайного эксперимента и найди
P
(
A
∩
B
)
P(A∩B).
Запиши ответ в виде обыкновенной несократимой дроби, используя символ /. Например,
1
3
3
1
как
1
/
3
1/3.
P
(
A
∩
B
)
=
P(A∩B)=
Чтобы решить задачу, давайте сначала разберемся с условиями и событиями, а затем составим таблицу случайного эксперимента для бросков игрального кубика.
### Шаг 1: Определение событий
У нас есть два события:
- \( A \): «при втором броске выпало меньше очков».
- \( B \): «сумма выпавших очков больше 5».
### Шаг 2: Возможные исходы эксперимента
Когда мы бросаем игральный кубик дважды, существует \( 6 \times 6 = 36 \) возможных исходов, поскольку у каждого кубика 6 грани.
Мы можем обозначить результаты первого броска как \( X_1 \) и второго броска как \( X_2 \). Каждый исход можно записать в виде пары \( (X_1, X_2) \).
### Шаг 3: Составление таблицы исходов
Вот все возможные пары \( (X_1, X_2) \):
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
X_1\backslash X_2 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1 & (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\
2 & (2,1) & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\
3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\
4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\
5 & (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\
6 & (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\
\hline
\end{array}
\]
### Шаг 4: Исследование событий A и B
Теперь мы будем искать те пары, которые соответствуют событиям \( A \) и \( B \).
#### Событие \( A \):
\( A \) происходит, если \( X_2 < X_1 \).
#### Событие \( B \):
\( B \) происходит, если \( X_1 + X_2 > 5 \).
### Шаг 5: Определение пересечения \( A \cap B \)
Теперь нам нужно найти пары, для которых выполняются условия обоих событий:
1. **\( X_1 = 2 \)**: \( (2, 1) \) — сумма \( 3 \) (не подходит)
2. **\( X_1 = 3 \)**: \( (3, 1) \), \( (3, 2) \) — сумма \( 4 \) и \( 5 \) (не подходят)
3. **\( X_1 = 4 \)**: \( (4, 1) \), \( (4, 2) \), \( (4, 3) \) — сумма \( 5 \), \( 6 \), и \( 7 \) (подходит \( (4,2) \) и \( (4,3) \))
4. **\( X_1 = 5 \)**: \( (5, 1) \), \( (5, 2) \), \( (5, 3) \), \( (5, 4) \) — сумма \( 6 \), \( 7 \), \( 8 \), \( 9 \) (подходит \( (5,2) \), \( (5,3) \), \( (5,4) \))
5. **\( X_1 = 6 \)**: \( (6, 1) \), \( (6, 2) \), \( (6, 3) \), \( (6, 4) \), \( (6, 5) \) — сумма \( 7 \), \( 8 \), \( 9 \), \( 10 \), \( 11 \) (подходит \( (6,5) \))
Таким образом, пары, подходящие под условия \( A \) и \( B \):
- \( (4, 3) \)
- \( (5, 2) \)
- \( (5, 3) \)
- \( (5, 4) \)
- \( (6, 5) \)
### Шаг 6: Счет числа благоприятных исходов
Всего мы нашли 5 благоприятных исходов:
1. \( (4,2) \)
2. \( (4,3) \)
3. \( (5,2) \)
4. \( (5,3) \)
5. \( (5,4) \)
6. \( (6,5) \)
### Шаг 7: Подсчет вероятности
Общее количество возможных исходов — 36. Таким образом, вероятность \( P(A \cap B) \):
\[
P(A \cap B) = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}
\]
### Ответ
\[
P(A \cap B) = \frac{1}{6}
\]
