1/(х-3)^2 - 6/х-3 -16=0
Давайте решим уравнение
\[ \frac{1}{(x-3)^2} - \frac{6}{x-3} - 16 = 0 \]
по шагам, чтобы всё стало понятно.
Шаг 1: Упростить уравнение
Для упрощения уравнения мы можем использовать замену переменной, чтобы избавиться от дробей. Пусть:
\[ y = x - 3 \]
Тогда уравнение можно переписать как:
\[ \frac{1}{y^2} - \frac{6}{y} - 16 = 0 \]
Шаг 2: Умножим обе стороны на \(y^2\)
Чтобы избавиться от дробей, умножим всё уравнение на \(y^2\):
\[ 1 - 6y - 16y^2 = 0 \]
Шаг 3: Привести уравнение к стандартному виду
Перепишем уравнение, чтобы привести его в стандартный вид ( Ax^2 + Bx + C = 0 ):
\[ -16y^2 - 6y + 1 = 0 \]
или
\[ 16y^2 + 6y - 1 = 0 \]
Шаг 4: Используем формулу дискриминанта
Теперь мы можем использовать дискриминант для нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле:
\[ D = B^2 - 4AC \]
где \(A = 16\), \(B = 6\), \(C = -1\).
Вычислим \(D\):
\[ D = 6^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-1) = 36 + 64 = 100 \]
Шаг 5: Находим корни уравнения
Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня, которые можно найти по формуле:
\[ y_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} \]
Подставим значения:
\[ y_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 16} = \frac{-6 \pm 10}{32} \]
Теперь вычислим оба корня:
- Для \(y_1\):
\[ y_1 = \frac{-6 + 10}{32} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} \]
- Для \(y_2\):
\[ y_2 = \frac{-6 - 10}{32} = \frac{-16}{32} = -\frac{1}{2} \]
Шаг 6: Подставляем обратно в выражение для \(x\)
Помним, что \(y = x - 3\), следовательно:
- Для \(y_1\):
\[ x_1 = y_1 + 3 = \frac{1}{8} + 3 = \frac{1}{8} + \frac{24}{8} = \frac{25}{8} \]
- Для \(y_2\):
\[ x_2 = y_2 + 3 = -\frac{1}{2} + 3 = -\frac{1}{2} + \frac{6}{2} = \frac{5}{2} \]
Итоговые ответы
Таким образом, корни уравнения:
\[ x_1 = \frac{25}{8} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5}{2} \]
Это всё! Если что-то ещё непонятно, спрашивай, я помогу!
