1/(х-3)^2 - 6/х-3 -16=0

Давайте решим уравнение \[ \frac{1}{(x-3)^2} - \frac{6}{x-3} - 16 = 0 \] по шагам, чтобы всё стало понятно. ### Шаг 1: Упростить уравнение Для упрощения уравнения мы можем использовать замену переменной, чтобы избавиться от дробей. Пусть: \[ y = x - 3 \] Тогда уравнение можно переписать как: \[ \frac{1}{y^2} - \frac{6}{y} - 16 = 0 \] ### Шаг 2: Умножим обе стороны на \(y^2\) Чтобы избавиться от дробей, умножим всё уравнение на \(y^2\): \[ 1 - 6y - 16y^2 = 0 \] ### Шаг 3: Привести уравнение к стандартному виду Перепишем уравнение, чтобы привести его в стандартный вид ( Ax^2 + Bx + C = 0 ): \[ -16y^2 - 6y + 1 = 0 \] или \[ 16y^2 + 6y - 1 = 0 \] ### Шаг 4: Используем формулу дискриминанта Теперь мы можем использовать дискриминант для нахождения корней квадратного уравнения. Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле: \[ D = B^2 - 4AC \] где \(A = 16\), \(B = 6\), \(C = -1\). Вычислим \(D\): \[ D = 6^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-1) = 36 + 64 = 100 \] ### Шаг 5: Находим корни уравнения Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня, которые можно найти по формуле: \[ y_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} \] Подставим значения: \[ y_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 16} = \frac{-6 \pm 10}{32} \] Теперь вычислим оба корня: 1. Для \(y_1\): \[ y_1 = \frac{-6 + 10}{32} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} \] 2. Для \(y_2\): \[ y_2 = \frac{-6 - 10}{32} = \frac{-16}{32} = -\frac{1}{2} \] ### Шаг 6: Подставляем обратно в выражение для \(x\) Помним, что \(y = x - 3\), следовательно: 1. Для \(y_1\): \[ x_1 = y_1 + 3 = \frac{1}{8} + 3 = \frac{1}{8} + \frac{24}{8} = \frac{25}{8} \] 2. Для \(y_2\): \[ x_2 = y_2 + 3 = -\frac{1}{2} + 3 = -\frac{1}{2} + \frac{6}{2} = \frac{5}{2} \] ### Итоговые ответы Таким образом, корни уравнения: \[ x_1 = \frac{25}{8} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5}{2} \] Это всё! Если что-то ещё непонятно, спрашивай, я помогу!