Люсе надо решить 300 задач. Ежедневно она решает на одно и тоже количество задач больше по сравнению с предыдущим днём. Известно, что за первый день Люся решила 14 задач. Определите, сколько щадач решила Люся в последний день, если со всеми задачами она справилась за 12 дней

Давайте решим эту задачу пошагово. 1. **Обозначим переменные**: - Пусть \( x \) — количество задач, которое Люся решает каждый день больше по сравнению с предыдущим днём. - В первый день она решила 14 задач. 2. **Определим количество решённых задач на каждый из последующих дней**: - На первый день: \( 14 \) - На второй день: \( 14 + x \) - На третий день: \( 14 + 2x \) - На четвёртый день: \( 14 + 3x \) - И так далее до двенадцатого дня. Получаем последовательность: - 1-й день: \( 14 \) - 2-й день: \( 14 + x \) - 3-й день: \( 14 + 2x \) - ... - 12-й день: \( 14 + 11x \) 3. **Запишем общее количество задач**: Общее количество задач, которое Люся решила за 12 дней, равняется 300. Мы можем записать это уравнение: \[ 14 + (14 + x) + (14 + 2x) + (14 + 3x) + ... + (14 + 11x) = 300 \] 4. **Упростим уравнение**: Сначала найдем сумму количества задач, которые Люся решает в первые 12 дней. Заметим, что в каждом дне она начинает с 14 задач, так что мы имеем 12 дней, каждый из которых включает 14 задач: \[ 12 \cdot 14 = 168 \] Теперь добавим все остальные задачи, которые она решила: \[ x + 2x + 3x + ... + 11x \] Это сумма арифметической прогрессии, где количество членов — 11. Сумма первых \( n \) натуральных чисел \( 1 + 2 + ... + n \) равна \( \frac{n(n + 1)}{2} \). Для нас \( n = 11 \): \[ 1 + 2 + 3 + ... + 11 = \frac{11 \cdot 12}{2} = 66 \] Следовательно, остаток суммируется как \( 66x \). 5. **Формируем полное уравнение**: Теперь у нас есть: \[ 168 + 66x = 300 \] 6. **Решим это уравнение**: \[ 66x = 300 - 168 \] \[ 66x = 132 \] \[ x = \frac{132}{66} = 2 \] 7. **Найдем, сколько задач Люся решила в последний день**: В последний день (12-й день), количество задач будет: \[ 14 + 11x = 14 + 11 \cdot 2 = 14 + 22 = 36 \] Таким образом, Люся решила **36 задач** в последний день.