Чтобы накачать в бак 117 л воды, требуется на 5 минут больше времени, чем на то, чтобы выкачать из него 96 л воды. За одну минуту можно выкачать на 3 л воды больше, чем накачать.…

Для решения этой задачи давайте обозначим следующие переменные:

• \( x \) — количество литров воды, которое накачивается в бак за минуту.
• \( y \) — количество литров воды, которое выкачивается из бака за минуту.

Из условия задачи мы знаем, что:

1. Чтобы накачать 117 литров воды, требуется на 5 минут больше, чем чтобы выкачать 96 литров.
2. За одну минуту можно выкачать на 3 литра больше, чем накачать, т.е. \( y = x + 3 \).

Теперь давайте запишем уравнения на основе этих условий.

Для определения времени, необходимого для накачивания и выкачивания воды:

• Время, необходимое для накачивания 117 литров воды: \[ t_1 = \frac{117}{x} \]

• Время, необходимое для выкачивания 96 литров воды: \[ t_2 = \frac{96}{y} = \frac{96}{x+3} \]

Согласно условию задачи, можно записать следующее уравнение: \[ t_1 = t_2 + 5 \]

Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{117}{x} = \frac{96}{x + 3} + 5 \]

Теперь умножим каждую сторону уравнения на \( x(x + 3) \) для избавления от дробей: \[ 117(x + 3) = 96x + 5x(x + 3) \]

Раскроем скобки: \[ 117x + 351 = 96x + 5x^2 + 15x \]

Объединим все элементы в одно уравнение: \[ 117x + 351 = 5x^2 + 111x \]

Переставим все элементы в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[ 5x^2 + 111x - 117x - 351 = 0 \] \[ 5x^2 - 6x - 351 = 0 \]

Теперь применим формулу для решения квадратных уравнений: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 5 \), \( b = -6 \), \( c = -351 \).

Теперь вычислим дискриминант \( D \): \[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-351) = 36 + 7020 = 7056 \]

Находим корни: \[ x = \frac{6 \pm \sqrt{7056}}{10} \]

Вычислим \( \sqrt{7056} \): \[ \sqrt{7056} = 84 \]

Теперь подставим значение дискриминанта: \[ x = \frac{6 \pm 84}{10} \] Таким образом, получаем два значения: \[ x_1 = \frac{90}{10} = 9 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-78}{10} = -7.8 \]

Отрицательное значение (второй корень) нам не подходит, так как количество литров не может быть отрицательным. Следовательно, количество литров воды, которое накачивается в бак за минуту, равно: \[ \boxed{9} \]