Для решения этой задачи давайте обозначим следующие переменные:
- ( x ) — количество литров воды, которое накачивается в бак за минуту.
- ( y ) — количество литров воды, которое выкачивается из бака за минуту.
Из условия задачи мы знаем, что:
- Чтобы накачать 117 литров воды, требуется на 5 минут больше, чем чтобы выкачать 96 литров.
- За одну минуту можно выкачать на 3 литра больше, чем накачать, т.е. ( y = x + 3 ).
Теперь давайте запишем уравнения на основе этих условий.
Для определения времени, необходимого для накачивания и выкачивания воды:
Время, необходимое для накачивания 117 литров воды:
[
t_1 = \frac{117}{x}
]
Время, необходимое для выкачивания 96 литров воды:
[
t_2 = \frac{96}{y} = \frac{96}{x+3}
]
Согласно условию задачи, можно записать следующее уравнение:
[
t_1 = t_2 + 5
]
Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{117}{x} = \frac{96}{x + 3} + 5
]
Теперь умножим каждую сторону уравнения на ( x(x + 3) ) для избавления от дробей:
[
117(x + 3) = 96x + 5x(x + 3)
]
Раскроем скобки:
[
117x + 351 = 96x + 5x^2 + 15x
]
Объединим все элементы в одно уравнение:
[
117x + 351 = 5x^2 + 111x
]
Переставим все элементы в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
[
5x^2 + 111x - 117x - 351 = 0
]
[
5x^2 - 6x - 351 = 0
]
Теперь применим формулу для решения квадратных уравнений:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 5 ), ( b = -6 ), ( c = -351 ).
Теперь вычислим дискриминант ( D ):
[
D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-351) = 36 + 7020 = 7056
]
Находим корни:
[
x = \frac{6 \pm \sqrt{7056}}{10}
]
Вычислим ( \sqrt{7056} ):
[
\sqrt{7056} = 84
]
Теперь подставим значение дискриминанта:
[
x = \frac{6 \pm 84}{10}
]
Таким образом, получаем два значения:
[
x_1 = \frac{90}{10} = 9 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-78}{10} = -7.8
]
Отрицательное значение (второй корень) нам не подходит, так как количество литров не может быть отрицательным. Следовательно, количество литров воды, которое накачивается в бак за минуту, равно:
[
\boxed{9}
]
