Чтобы найти площадь прямоугольной трапеции, можно использовать следующую формулу:
[
S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}
]
где (S) — площадь трапеции, (a) и (b) — длины оснований, а (h) — высота трапеции.
В данной задаче основание (a = 5) и основание (b = 13). Нам необходимо найти высоту (h) трапеции.
Шаг 1: Нахождение высоты
Поскольку угол между боковой стороной и одним из оснований равен (135^\circ), можно воспользоваться свойствами треугольника, чтобы выразить высоту через длину боковой стороны.
Пусть (c) — длина боковой стороны, которая образует углы (135^\circ) с основанием (5). Проекция высоты на боковую сторону будет равна:
[
h = c \cdot \sin(135^\circ)
]
Итак, чтобы найти (h), нам нужно знать длину боковой стороны (c). Однако мы можем использовать свойства трапеции для нахождения высоты и тем самым не вычислять сторону напрямую.
Шаг 2: Создание треугольника
Мы видим, что у нас есть угол (135^\circ). Это означает, что:
- Угол между основанием (5) и высотой (h) равен (90^\circ - 45^\circ = 45^\circ).
- Поэтому, если провести высоту к основанию (5), мы можем использовать тригонометрию.
Шаг 3: Нахождение разности оснований
Разность оснований (b - a = 13 - 5 = 8). Это также будет основой для небольшого прямоугольного треугольника, где:
- одно основание напрямую соответствует стороне (h),
- другое основание (d) будет относиться к разнице длин оснований.
Проекцию высоты на верхнее основание можем выразить через разность оснований:
[
d = b - a = 8
]
Так как (d) равен 8, угол (45^\circ) помогает определить её:
[
h = d \cdot \tan(45^\circ) = 8 \cdot 1 = 8
]
Шаг 4: Подсчет площади
Теперь мы можем использовать найденные значения для вычисления площади трапеции:
[
S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} = \frac{(5 + 13) \cdot 8}{2} = \frac{18 \cdot 8}{2} = 72
]
Таким образом, площадь трапеции равна:
[
\boxed{72}
]
