Основания прямоугольной трапеции равны 5 5 и 13 13 . Угол между боковой стороной и одним из оснований равен 13 5 ∘ 135 ∘ . Найди площадь трапеции.
Чтобы найти площадь прямоугольной трапеции, можно использовать следующую формулу:
\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]
где \(S\) — площадь трапеции, \(a\) и \(b\) — длины оснований, а \(h\) — высота трапеции.
В данной задаче основание \(a = 5\) и основание \(b = 13\). Нам необходимо найти высоту \(h\) трапеции.
Шаг 1: Нахождение высоты
Поскольку угол между боковой стороной и одним из оснований равен \(135^\circ\), можно воспользоваться свойствами треугольника, чтобы выразить высоту через длину боковой стороны.
Пусть \(c\) — длина боковой стороны, которая образует углы \(135^\circ\) с основанием \(5\). Проекция высоты на боковую сторону будет равна:
\[ h = c \cdot \sin(135^\circ) \]
Итак, чтобы найти \(h\), нам нужно знать длину боковой стороны \(c\). Однако мы можем использовать свойства трапеции для нахождения высоты и тем самым не вычислять сторону напрямую.
Шаг 2: Создание треугольника
Мы видим, что у нас есть угол \(135^\circ\). Это означает, что:
- Угол между основанием \(5\) и высотой \(h\) равен \(90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\).
- Поэтому, если провести высоту к основанию \(5\), мы можем использовать тригонометрию.
Шаг 3: Нахождение разности оснований
Разность оснований \(b - a = 13 - 5 = 8\). Это также будет основой для небольшого прямоугольного треугольника, где:
- одно основание напрямую соответствует стороне \(h\),
- другое основание \(d\) будет относиться к разнице длин оснований.
Проекцию высоты на верхнее основание можем выразить через разность оснований:
\[ d = b - a = 8 \]
Так как \(d\) равен 8, угол \(45^\circ\) помогает определить её:
\[ h = d \cdot \tan(45^\circ) = 8 \cdot 1 = 8 \]
Шаг 4: Подсчет площади
Теперь мы можем использовать найденные значения для вычисления площади трапеции:
\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} = \frac{(5 + 13) \cdot 8}{2} = \frac{18 \cdot 8}{2} = 72 \]
Таким образом, площадь трапеции равна:
\[ \boxed{72} \]
