В равнобедренной трапеции основания равны 8 и 12 , один из углов между боковой стороной и основанием равен 45∘ . Найди площадь трапеции
Чтобы найти площадь равнобедренной трапеции, нужно использовать формулу для её площади:
\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \]
где \( S \) — площадь трапеции, \( a \) и \( b \) — длины оснований, а \( h \) — высота трапеции.
Определим длины оснований:
В задаче даны основания трапеции \( a = 8 \) и \( b = 12 \).Найдём высоту:
Для этого воспользуемся свойством углов в равнобедренной трапеции. Один из углов между боковой стороной и основанием равен \( 45^\circ \). Обозначим боковую сторону как \( c \).Мы можем опустить перпендикуляр из угла \( 45^\circ \) к основанию \( b \), чтобы найти высоту \( h \) и длины отрезков, на которые основание делится. Так как угол \( 45^\circ \), то длина высоты будет равна длине отрезка, который мы получим на основании.
Известно, что:
\[ h = c \cdot \sin(45^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Но сначала нам нужно найти длину боковой стороны \( c \).
Построим треугольник:
Одной из сторон является высота \( h \), а другой — половина разности оснований. Половина разности оснований будет равна:\[ \frac{b - a}{2} = \frac{12 - 8}{2} = 2 \]
Так что у нас есть прямоугольный треугольник с высотой \( h \) и основанием \( 2 \).
Применяя теорему Пифагора, получаем:
\[ c = \sqrt{h^2 + 2^2} \]
Но высоту можно также представить через угол:
\[ h = 2 \cdot \tan(45^\circ) = 2 \]
Так как \( \tan(45^\circ) = 1 \).
Теперь подставим высоту в формулу площади:
\[ S = \frac{(8 + 12) \cdot 2}{2} \]
Подсчитаем:
\[ S = \frac{20 \cdot 2}{2} = 20 \]
Ответ:
Площадь равнобедренной трапеции составляет 20 квадратных единиц.
