В равнобедренной трапеции основания равны 8 и 12, один из углов между боковой стороной и основанием равен 45∘. Найди площадь трапеции

Чтобы найти площадь равнобедренной трапеции, нужно использовать формулу для её площади: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \] где \( S \) — площадь трапеции, \( a \) и \( b \) — длины оснований, а \( h \) — высота трапеции. 1. **Определим длины оснований**: В задаче даны основания трапеции \( a = 8 \) и \( b = 12 \). 2. **Найдём высоту**: Для этого воспользуемся свойством углов в равнобедренной трапеции. Один из углов между боковой стороной и основанием равен \( 45^\circ \). Обозначим боковую сторону как \( c \). Мы можем опустить перпендикуляр из угла \( 45^\circ \) к основанию \( b \), чтобы найти высоту \( h \) и длины отрезков, на которые основание делится. Так как угол \( 45^\circ \), то длина высоты будет равна длине отрезка, который мы получим на основании. Известно, что: \[ h = c \cdot \sin(45^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] Но сначала нам нужно найти длину боковой стороны \( c \). 3. **Построим треугольник**: Одной из сторон является высота \( h \), а другой — половина разности оснований. Половина разности оснований будет равна: \[ \frac{b - a}{2} = \frac{12 - 8}{2} = 2 \] Так что у нас есть прямоугольный треугольник с высотой \( h \) и основанием \( 2 \). Применяя теорему Пифагора, получаем: \[ c = \sqrt{h^2 + 2^2} \] Но высоту можно также представить через угол: \[ h = 2 \cdot \tan(45^\circ) = 2 \] Так как \( \tan(45^\circ) = 1 \). 4. **Теперь подставим высоту в формулу площади**: \[ S = \frac{(8 + 12) \cdot 2}{2} \] Подсчитаем: \[ S = \frac{20 \cdot 2}{2} = 20 \] 5. **Ответ**: Площадь равнобедренной трапеции составляет **20** квадратных единиц.