Найти интеграл и пораболу y=4x-x2, y=4-x

Чтобы найти интеграл между кривыми \( y = 4x - x^2 \) и \( y = 4 - x \), а также вычислить площадь, ограниченную этими кривыми, следуем шагам ниже.

Шаг 1: Найти точки пересечения

Для начала найдем точки, в которых обе функции равны:

\[ 4x - x^2 = 4 - x \]

Соберем все в одну сторону уравнения:

\[ 4x - x^2 - 4 + x = 0 \]

Упрощаем:

\[ -x^2 + 5x - 4 = 0 \]

Умножив на \(-1\), получаем:

\[ x^2 - 5x + 4 = 0 \]

Находим корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \]

Корни будут:

\[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \]

Таким образом:

\[ x_1 = \frac{8}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1 \]

Теперь у нас есть точки пересечения: \( x = 1 \) и \( x = 4 \).

Шаг 2: Определить, какая функция выше

Подставим \( x = 2 \) (значение между 1 и 4) в обе функции, чтобы определить, какая из них выше:

\[ y_1 = 4(2) - 2^2 = 8 \quad (для \, y=4x-x^2) \] \[ y_2 = 4 - 2 = 2 \quad (для \, y=4-x) \]

Таким образом, \( y = 4x - x^2 \) находится выше, чем \( y = 4 - x \) на интервале от 1 до 4.

Шаг 3: Вычислить интеграл

Теперь можем вычислить площадь между кривыми:

\[ \text{Площадь} = \int_{1}^{4} \left((4x - x^2) - (4 - x)\right) \, dx \]

Упростим подынтегральное выражение:

\[ 4x - x^2 - (4 - x) = 4x - x^2 - 4 + x = -x^2 + 5x - 4 \]

Теперь вычислим интеграл:

\[ \int_{1}^{4} (-x^2 + 5x - 4) \, dx \]

Шаг 4: Рассчитать интеграл

Найдем первообразную:

\[ \int (-x^2 + 5x - 4) \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x + C \]

Теперь подставим пределы интегрирования от 1 до 4:

\[ \left[-\frac{4^3}{3} + \frac{5 \cdot 4^2}{2} - 4 \cdot 4\right] - \left[-\frac{1^3}{3} + \frac{5 \cdot 1^2}{2} - 4 \cdot 1\right] \]

Подсчитаем значение в верхнем пределе:

\[ -\frac{64}{3} + \frac{80}{2} - 16 = -\frac{64}{3} + 40 - 16 = -\frac{64}{3} + 24 = -\frac{64}{3} + \frac{72}{3} = \frac{8}{3} \]

Теперь подсчитаем значение в нижнем пределе:

\[ -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 = -\frac{1}{3} + \frac{15}{6} - \frac{24}{6} = -\frac{1}{3} - \frac{9}{6} = -\frac{1}{3} - \frac{3}{2} = -\frac{1}{3} - \frac{9}{6} \]

Переведем в общий знаменатель (6):

\[ -\frac{2}{6} - \frac{9}{6} = -\frac{11}{6} \]

Теперь вычтем нижний предел из верхнего:

\[ \frac{8}{3} - \left(-\frac{11}{6}\right) \]

Приведем к общему знаменателю (6):

\[ \frac{16}{6} + \frac{11}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \]

Таким образом, площадь между кривыми \( y = 4x - x^2 \) и \( y = 4 - x \) на интервале от 1 до 4 равна:

\[ \boxed{\frac{9}{2}} \]