Вопрос от Анонимного юзера 13 марта 2025 18:19

Question 1

Найти интеграл и параболлу y=x2-4x+5. y=0; x=0; x=4

Answer

Решим задачу поэтапно.

Шаг 1: Определение области интегрирования и нахождение параболы

Парабола задана уравнением: [ y = x^2 - 4x + 5 ] Для упрощения, мы можем разложить это уравнение в каноническую форму. Для этого найдем вершину параболы.
Вершина параболы находится по формуле: [ x = -\frac{b}{2a} ] Где (a = 1) (коэффициент при (x^2)) и (b = -4). Подставляем: [ x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 ]
Теперь находим значение y (координату вершины), подставив (x = 2) в уравнение параболы: [ y = 2^2 - 4 \cdot 2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1 ]
Это значит, что вершина параболы находится в точке ((2, 1)).

Шаг 2: Определение области интегрирования

Парабола пересекает ось абсцисс (где (y = 0)). Чтобы найти корни уравнения, решим: [ x^2 - 4x + 5 = 0 ] Однако, для этого уравнения дискриминант: [ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 ] Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней, значит парабола не пересекает ось (x).

Шаг 3: Определим области для интегрирования

У нас дана область:

(y = 0) (ось абсцисс)
(x = 0) (ось (y))
(x = 4) (вертикальная линия)

Шаг 4: Определение интеграла

Теперь найдем определенный интеграл параболы от (x = 0) до (x = 4). Интеграл от функции (y = x^2 - 4x + 5) по (x) от 0 до 4 выглядит так:

[ \int_0^4 (x^2 - 4x + 5) , dx ]

Шаг 5: Вычисление интеграла

Находим первообразную: [ \int (x^2 - 4x + 5) , dx = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x + C ]
Теперь подставляем границы интегрирования: [ \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x \right]_0^4 ]
Находим значение в верхней границе: [ \frac{4^3}{3} - 2 \cdot 4^2 + 5 \cdot 4 = \frac{64}{3} - 2 \cdot 16 + 20 = \frac{64}{3} - 32 + 20 ] [ = \frac{64}{3} - \frac{96}{3} + \frac{60}{3} = \frac{64 - 96 + 60}{3} = \frac{28}{3} ]
Значение в нижней границе (для (x=0)): [ \frac{0^3}{3} - 2 \cdot 0^2 + 5 \cdot 0 = 0 ]
Теперь находим определенный интеграл: [ \int_0^4 (x^2 - 4x + 5) , dx = \frac{28}{3} - 0 = \frac{28}{3} ]

Ответ

Определенный интеграл от функции (y = x^2 - 4x + 5) на интервале от 0 до 4 равен (\frac{28}{3}). Это значение соответствует площади под графиком параболы и над осью (x) на заданном интервале.

Question 2

найти интеграл и параболлу y=x2-4x+5. y=0; x=0; x=4

Answer

Решим задачу поэтапно. ### Шаг 1: Определение области интегрирования и нахождение параболы 1. **Парабола** задана уравнением: \[ y = x^2 - 4x + 5 \] Для упрощения, мы можем разложить это уравнение в каноническую форму. Для этого найдем вершину параболы. 2. **Вершина параболы** находится по формуле: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Где \(a = 1\) (коэффициент при \(x^2\)) и \(b = -4\). Подставляем: \[ x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \] 3. **Теперь находим значение y (координату вершины)**, подставив \(x = 2\) в уравнение параболы: \[ y = 2^2 - 4 \cdot 2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1 \] 4. **Это значит**, что вершина параболы находится в точке \((2, 1)\). ### Шаг 2: Определение области интегрирования Парабола пересекает ось абсцисс (где \(y = 0\)). Чтобы найти корни уравнения, решим: \[ x^2 - 4x + 5 = 0 \] Однако, для этого уравнения дискриминант: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 \] Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней, значит парабола не пересекает ось \(x\). ### Шаг 3: Определим области для интегрирования У нас дана область: - \(y = 0\) (ось абсцисс) - \(x = 0\) (ось \(y\)) - \(x = 4\) (вертикальная линия) ### Шаг 4: Определение интеграла Теперь найдем определенный интеграл параболы от \(x = 0\) до \(x = 4\). Интеграл от функции \(y = x^2 - 4x + 5\) по \(x\) от 0 до 4 выглядит так: \[ \int_0^4 (x^2 - 4x + 5) \, dx \] ### Шаг 5: Вычисление интеграла 1. **Находим первообразную**: \[ \int (x^2 - 4x + 5) \, dx = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x + C \] 2. **Теперь подставляем границы интегрирования**: \[ \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x \right]_0^4 \] 3. Находим значение в верхней границе: \[ \frac{4^3}{3} - 2 \cdot 4^2 + 5 \cdot 4 = \frac{64}{3} - 2 \cdot 16 + 20 = \frac{64}{3} - 32 + 20 \] \[ = \frac{64}{3} - \frac{96}{3} + \frac{60}{3} = \frac{64 - 96 + 60}{3} = \frac{28}{3} \] 4. Значение в нижней границе (для \(x=0\)): \[ \frac{0^3}{3} - 2 \cdot 0^2 + 5 \cdot 0 = 0 \] 5. **Теперь находим определенный интеграл**: \[ \int_0^4 (x^2 - 4x + 5) \, dx = \frac{28}{3} - 0 = \frac{28}{3} \] ### Ответ Определенный интеграл от функции \(y = x^2 - 4x + 5\) на интервале от 0 до 4 равен \(\frac{28}{3}\). Это значение соответствует площади под графиком параболы и над осью \(x\) на заданном интервале.