найти интеграл и параболлу y=x2-4x+5. y=0; x=0; x=4
Решим задачу поэтапно.
Шаг 1: Определение области интегрирования и нахождение параболы
Парабола задана уравнением: \[ y = x^2 - 4x + 5 \] Для упрощения, мы можем разложить это уравнение в каноническую форму. Для этого найдем вершину параболы.
Вершина параболы находится по формуле: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Где \(a = 1\) (коэффициент при \(x^2\)) и \(b = -4\). Подставляем: \[ x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \]
Теперь находим значение y (координату вершины), подставив \(x = 2\) в уравнение параболы: \[ y = 2^2 - 4 \cdot 2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1 \]
Это значит, что вершина параболы находится в точке \((2, 1)\).
Шаг 2: Определение области интегрирования
Парабола пересекает ось абсцисс (где \(y = 0\)). Чтобы найти корни уравнения, решим: \[ x^2 - 4x + 5 = 0 \] Однако, для этого уравнения дискриминант: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 \] Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных корней, значит парабола не пересекает ось \(x\).
Шаг 3: Определим области для интегрирования
У нас дана область:
- \(y = 0\) (ось абсцисс)
- \(x = 0\) (ось \(y\))
- \(x = 4\) (вертикальная линия)
Шаг 4: Определение интеграла
Теперь найдем определенный интеграл параболы от \(x = 0\) до \(x = 4\). Интеграл от функции \(y = x^2 - 4x + 5\) по \(x\) от 0 до 4 выглядит так:
\[ \int_0^4 (x^2 - 4x + 5) \, dx \]
Шаг 5: Вычисление интеграла
Находим первообразную: \[ \int (x^2 - 4x + 5) \, dx = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x + C \]
Теперь подставляем границы интегрирования: \[ \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 5x \right]_0^4 \]
Находим значение в верхней границе: \[ \frac{4^3}{3} - 2 \cdot 4^2 + 5 \cdot 4 = \frac{64}{3} - 2 \cdot 16 + 20 = \frac{64}{3} - 32 + 20 \] \[ = \frac{64}{3} - \frac{96}{3} + \frac{60}{3} = \frac{64 - 96 + 60}{3} = \frac{28}{3} \]
Значение в нижней границе (для \(x=0\)): \[ \frac{0^3}{3} - 2 \cdot 0^2 + 5 \cdot 0 = 0 \]
Теперь находим определенный интеграл: \[ \int_0^4 (x^2 - 4x + 5) \, dx = \frac{28}{3} - 0 = \frac{28}{3} \]
Ответ
Определенный интеграл от функции \(y = x^2 - 4x + 5\) на интервале от 0 до 4 равен \(\frac{28}{3}\). Это значение соответствует площади под графиком параболы и над осью \(x\) на заданном интервале.
