Sin x/2 = √2/2

Чтобы решить уравнение \( \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), начнем с того, что знаем, какие значения может принимать синус. 1. **Определим аргументы, для которых \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \):** Синус принимает значение \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) в следующих углах: - \( \alpha = \frac{\pi}{4} \) (или 45 градусов) - \( \alpha = \frac{3\pi}{4} \) (или 135 градусов) Эти значения актуальны в диапазоне от \( 0 \) до \( 2\pi \). Но синус - это периодическая функция, следовательно: \[ \alpha = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad \alpha = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \] где \( k \) — любое целое число. 2. **Подставим обратное преобразование для \( \frac{x}{2} \):** Так как мы имеем \( \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), можем записать два уравнения: \[ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \] \[ \frac{x}{2} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi. \] 3. **Умножим каждое уравнение на 2, чтобы найти \( x \):** - Для первого уравнения: \[ x = 2 \left( \frac{\pi}{4} + 2k\pi \right) = \frac{\pi}{2} + 4k\pi. \] - Для второго уравнения: \[ x = 2 \left( \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \right) = \frac{3\pi}{2} + 4k\pi. \] 4. **Запишем окончательный ответ:** Таким образом, решение уравнения \( \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) состоит из двух общих формул: \[ x = \frac{\pi}{2} + 4k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}, \] \[ x = \frac{3\pi}{2} + 4k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Эти уравнения описывают все возможные значения \( x \), при которых синус данной функции равен \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).