sin x/2 = √2/2
Чтобы решить уравнение \( \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), начнем с того, что знаем, какие значения может принимать синус.
Определим аргументы, для которых \( \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \):
Синус принимает значение \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) в следующих углах:- \( \alpha = \frac{\pi}{4} \) (или 45 градусов)
- \( \alpha = \frac{3\pi}{4} \) (или 135 градусов)
Эти значения актуальны в диапазоне от \( 0 \) до \( 2\pi \). Но синус - это периодическая функция, следовательно: \[ \alpha = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad \alpha = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \] где \( k \) — любое целое число.
Подставим обратное преобразование для \( \frac{x}{2} \): Так как мы имеем \( \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \), можем записать два уравнения: \[ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \] \[ \frac{x}{2} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi. \]
Умножим каждое уравнение на 2, чтобы найти \( x \):
Для первого уравнения: \[ x = 2 \left( \frac{\pi}{4} + 2k\pi \right) = \frac{\pi}{2} + 4k\pi. \]
Для второго уравнения: \[ x = 2 \left( \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \right) = \frac{3\pi}{2} + 4k\pi. \]
Запишем окончательный ответ: Таким образом, решение уравнения \( \sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) состоит из двух общих формул: \[ x = \frac{\pi}{2} + 4k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}, \] \[ x = \frac{3\pi}{2} + 4k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]
Эти уравнения описывают все возможные значения \( x \), при которых синус данной функции равен \( \frac{\sqrt{2}}{2} \).
