Для решения задачи начнем с определения общего числа способов выстроить 8 человек (4 мальчика и 4 девочки), а затем вычтем из этого числа способы, при которых среди первых 4 человек нет девочек.
Шаг 1: Общее количество способов расставить 8 человек
Сначала вычислим общее количество способов расставить 8 человек (4 мальчика и 4 девочки) в шеренгу. Это можно сделать, используя факториал, так как порядок имеет значение.
Общее количество способов:
[
8! = 40320
]
Шаг 2: Количество способов без девочек среди первых 4 человек
Теперь найдем количество способов, при которых среди первых 4 человек нет девочек. То есть, все первые 4 места займут мальчики.
- В первых 4 местах могут стоять только мальчики. У нас 4 мальчика, и мы можем их расставить 4! способами:
[
4! = 24
]
- Остальные 4 места могут занять девочки, и их также можно расставить 4! способами:
[
4! = 24
]
Таким образом, общее количество способов расставить 8 человек, где среди первых 4 нет девочек:
[
4! \cdot 4! = 24 \cdot 24 = 576
]
Шаг 3: Количество благоприятных случаев
Теперь мы можем найти число способов, при которых среди первых 4 человек есть хотя бы одна девочка. Для этого вычтем количество случаев, где девочек нет, из общего количества способов:
[
\text{Количество случаев с хотя бы одной девочкой} = \text{Общее количество способов} - \text{Количество способов без девочек}
]
Подставим известные значения:
[
\text{Количество случаев с хотя бы одной девочкой} = 40320 - 576 = 39744
]
Ответ
Таким образом, количество способов выстроить 4 мальчика и 4 девочки в шеренгу так, чтобы среди первых 4 человек была хотя бы 1 девочка, равно 39744.
