Чтобы найти первый член геометрической прогрессии, давайте сначала вспомним, что каждый член геометрической прогрессии (ГП) можно выразить через первый член и размерность прогрессии.
Обозначим первый член прогрессии как ( b_1 ), и пусть размерность (или знаменатель прогрессии) равна ( q ). Тогда члены прогрессии можно записать следующим образом:
- ( b_4 = b_1 \cdot q^3 )
- ( b_6 = b_1 \cdot q^5 )
Из условия задачи нам известно, что ( b_4 = 2 ) и ( b_6 = 200 ). Записываем это в виде уравнений:
- ( b_1 \cdot q^3 = 2 ) (Уравнение 1)
- ( b_1 \cdot q^5 = 200 ) (Уравнение 2)
Теперь мы можем выразить ( b_1 ) через ( q ) из первого уравнения:
[
b_1 = \frac{2}{q^3}
]
Подставим это значение ( b_1 ) во второе уравнение:
[
\frac{2}{q^3} \cdot q^5 = 200
]
Упрощаем уравнение:
[
\frac{2q^5}{q^3} = 200
]
Это можно записать как:
[
2q^2 = 200
]
Теперь делим обе стороны на 2:
[
q^2 = 100
]
Находим ( q ):
[
q = 10 \quad (\text{так как размерность прогрессии положительна})
]
Теперь, зная значение ( q ), вернемся к первому уравнению, чтобы найти ( b_1 ):
[
b_1 = \frac{2}{q^3} = \frac{2}{10^3} = \frac{2}{1000} = \frac{1}{500}
]
Таким образом, первый член геометрической прогрессии ( b_1 ) равен:
[
\boxed{\frac{1}{500}}
]
