известны два члена геометрической прогрессии: b4= 2 и b6= 200. Найдите ее первый член
Чтобы найти первый член геометрической прогрессии, давайте сначала вспомним, что каждый член геометрической прогрессии (ГП) можно выразить через первый член и размерность прогрессии.
Обозначим первый член прогрессии как \( b_1 \), и пусть размерность (или знаменатель прогрессии) равна \( q \). Тогда члены прогрессии можно записать следующим образом:
- \( b_4 = b_1 \cdot q^3 \)
- \( b_6 = b_1 \cdot q^5 \)
Из условия задачи нам известно, что \( b_4 = 2 \) и \( b_6 = 200 \). Записываем это в виде уравнений:
- \( b_1 \cdot q^3 = 2 \) (Уравнение 1)
- \( b_1 \cdot q^5 = 200 \) (Уравнение 2)
Теперь мы можем выразить \( b_1 \) через \( q \) из первого уравнения:
\[ b_1 = \frac{2}{q^3} \]
Подставим это значение \( b_1 \) во второе уравнение:
\[ \frac{2}{q^3} \cdot q^5 = 200 \]
Упрощаем уравнение:
\[ \frac{2q^5}{q^3} = 200 \]
Это можно записать как:
\[ 2q^2 = 200 \]
Теперь делим обе стороны на 2:
\[ q^2 = 100 \]
Находим \( q \):
\[ q = 10 \quad (\text{так как размерность прогрессии положительна}) \]
Теперь, зная значение \( q \), вернемся к первому уравнению, чтобы найти \( b_1 \):
\[ b_1 = \frac{2}{q^3} = \frac{2}{10^3} = \frac{2}{1000} = \frac{1}{500} \]
Таким образом, первый член геометрической прогрессии \( b_1 \) равен:
\[ \boxed{\frac{1}{500}} \]
