Для решения данной задачи мы будем использовать понятие дисперсии, чтобы определить, какой из приборов дает более точные измерения.
Дисперсия (σ²) — это мера рассеяния данных относительно их среднего значения. Чем меньше дисперсия, тем более точные измерения, так как значения находятся ближе к среднему.
Шаг 1: Запись данных
Для первого контролёра (по данным X1):
- 58 — 1 раз
- 59 — 4 раза
- 60 — 2 раза
- 61 — 0 раз
- 62 — 0 раз
Для второго контролёра (по данным X2):
Шаг 2: Вычисление среднего
Для первого контролёра:
Сначала находим общее количество измерений:
- (N_1 = 1 + 4 + 2 + 0 + 0 = 7)
Затем находим среднее значение (M1):
[
M_1 = \frac{(58 \cdot 1) + (59 \cdot 4) + (60 \cdot 2) + (61 \cdot 0) + (62 \cdot 0)}{7} = \frac{58 + 236 + 120}{7} = \frac{414}{7} \approx 59.14
]
Для второго контролёра:
Общее количество измерений:
Среднее значение (M2):
[
M_2 = \frac{(59 \cdot 2) + (60 \cdot 8)}{10} = \frac{118 + 480}{10} = \frac{598}{10} = 59.8
]
Шаг 3: Вычисление дисперсии
Дисперсия для первого контролёра:
[
\sigma_1^2 = \frac{1}{N_1} \sum (X_i - M_1)^2
]
[
= \frac{1}{7} [(58 - 59.14)^2 \cdot 1 + (59 - 59.14)^2 \cdot 4 + (60 - 59.14)^2 \cdot 2 + (61 - 59.14)^2 \cdot 0 + (62 - 59.14)^2 \cdot 0]
]
[
= \frac{1}{7} [(1.2996) \cdot 1 + (0.0196) \cdot 4 + (0.7569) \cdot 2 + 0 + 0]
]
[
= \frac{1}{7} [1.2996 + 0.0784 + 1.5138] = \frac{2.8918}{7} \approx 0.413
]
Дисперсия для второго контролёра:
[
\sigma_2^2 = \frac{1}{N_2} \sum (X_i - M_2)^2
]
[
= \frac{1}{10} [(59 - 59.8)^2 \cdot 2 + (60 - 59.8)^2 \cdot 8]
]
[
= \frac{1}{10} [(0.64) \cdot 2 + (0.04) \cdot 8] = \frac{1.28 + 0.32}{10} = \frac{1.6}{10} = 0.16
]
Шаг 4: Сравнение дисперсий
Теперь сравним дисперсии:
- ( \sigma_1^2 \approx 0.413 )
- ( \sigma_2^2 = 0.16 )
Поскольку дисперсия второго контролёра меньше, это означает, что измерения, проведенные вторым контролёром, более точные.
Ответ
Число, соответствующее величине дисперсии более точного прибора (второго контролёра):
[
\text{Ответ: } 0.16
]
