Стрелок стреляет по мишеням до первого попадания. Какая формула отображает вероятность события A A «стрелку понадобилось четыре выстрела, чтобы попасть в мишень»?

Для решения этой задачи мы можем использовать концепцию геометрического распределения, которое используется для моделирования количества испытаний до первого успеха вBernoulli-испытаниях.

Определим событие: Пусть вероятность успеха (попадания в мишень) в одном выстреле равна \( p \), а вероятность неудачи (промаха) тогда равна \( q = 1 - p \).

Нам нужно найти вероятность того, что стрелку понадобилось четыре выстрела, чтобы попасть в мишень. Это означает, что первые три выстрела должны быть промахами, а четвертый — успешным.

Шаги для нахождения вероятности события A:

1. Запишем вероятность промаха: Вероятность промаха в одном выстреле равна \( q \).
2. Вероятность трех промахов подряд: Для первых трех выстрелов вероятность будет равна \( q \times q \times q = q^3 \).
3. Вероятность попадания в четвертом выстреле: Вероятность попадания в четвертом выстреле равна \( p \).
4. Общая вероятность события A: Объединим все части: вероятность того, что стрелку понадобилось четыре выстрела, чтобы попасть в мишень, будет равна произведению вероятностей: \[ P(A) = q^3 \times p \]

Итак, окончательная формула: \[ P(A) = (1 - p)^3 \times p \]

Пример: Если вероятность попадания в мишень, например, составляет \( p = 0.2 \) (20%), тогда:

• Вероятность промаха \( q = 1 - 0.2 = 0.8 \).
• Подставляем в формулу: \[ P(A) = (0.8)^3 \times (0.2) = 0.512 \times 0.2 = 0.1024 \]

Это означает, что существует 10.24% вероятность того, что стрелку понадобилось четыре выстрела для попадая в мишень.