Чтобы найти уравнение касательной к графику функции ( F(x) = x^3 - 3x^2 + 5 ) в точке, где абсцисса равна ( x_0 = 2 ), нужно выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Найти значение функции в точке ( x_0 )
Сначала подставим ( x_0 ) в функцию:
[
F(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 5
]
Вычисления:
[
F(2) = 8 - 12 + 5 = 1
]
Так что точка на графике функции в нашем случае: ( (2, 1) ).
Шаг 2: Найти производную функции
Производная функции ( F(x) ) даст нам наклон касательной:
[
F'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 5)
]
Вычисляя производную, получаем:
[
F'(x) = 3x^2 - 6x
]
Шаг 3: Найти наклон касательной в точке ( x_0 = 2 )
Теперь мы найдем наклон касательной, подставив ( x_0 ) в производную:
[
F'(2) = 3 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2
]
Вычисления:
[
F'(2) = 3 \cdot 4 - 12 = 12 - 12 = 0
]
Наклон касательной в точке ( (2, 1) ) равен 0. Это означает, что касательная горизонтальна.
Шаг 4: Написать уравнение касательной
Уравнение касательной имеет вид:
[
y - y_0 = m (x - x_0)
]
где ( m ) — наклон (в нашем случае 0), ( (x_0, y_0) ) — координаты точки касания. Подставим известные значения:
[
y - 1 = 0 \cdot (x - 2)
]
Это можно упростить до:
[
y - 1 = 0
]
или
[
y = 1
]
Ответ
Таким образом, уравнение касательной к графику функции ( F(x) ) в точке, где ( x_0 = 2 ), равно ( y = 1 ).
