в треугольнике авс угол с равен 90 градусов, синус б 4/15, ав 45 градусов найдите сторону ас
Для решения задачи рассмотрим треугольник ABC, где угол C равен 90 градусам. Это означает, что треугольник является прямоугольным. Параметры, которые нам известны:
- Угол A (∠A) = 45 градусов
- Синус угла B (∠B) = 4/15
Наша цель — найти длину стороны AC.
Шаг 1: Нахождение угла B
В прямоугольном треугольнике сумма углов равна 180 градусам. Поскольку угол C равен 90 градусов, у нас остается:
\[ ∠A + ∠B + ∠C = 180^\circ \] \[ 45^\circ + ∠B + 90^\circ = 180^\circ \] \[ ∠B = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \]
Теперь у нас есть:
- ∠A = 45 градусов
- ∠B = 45 градусов
- ∠C = 90 градусов
Это означает, что треугольник ABC — равнобедренный прямоугольный треугольник.
Шаг 2: Связь между сторонами треугольника
В равнобедренном прямоугольном треугольнике стороны, примыкающие к прямому углу (AC и BC), равны. Обозначим их как x. Сторона AB (гипотенуза) по теореме Пифагора будет равна:
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] \[ AB^2 = x^2 + x^2 = 2x^2 \] \[ AB = x\sqrt{2} \]
Шаг 3: Использование синуса угла B
Синус любого угла в треугольнике определяется как отношение противолежащей стороны к гипотенузе. В нашем случае:
\[ \sin(B) = \frac{AC}{AB} \]
Подставляем известные значения:
\[ \sin(45^\circ) = \frac{x}{x\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 \]
Но у нас также есть:
\[ \sin(B) = \frac{4}{15} \]
Равно:
\[ \frac{x}{x\sqrt{2}} = \frac{4}{15} \]
Шаг 4: Нахождение стороны AC
Упрощая уравнение:
\[ \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4}{15} \]
Сделаем кросс-умножение:
\[ 15 = 4\sqrt{2} \]
Из этого уравнения можно выразить сторону x:
\[ x = \frac{15}{4\sqrt{2}} \] Чтобы получить точное значение стороны AC (или BC), нужно вычислить:
- Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\):
\[ x = \frac{15\sqrt{2}}{4 \cdot 2} = \frac{15\sqrt{2}}{8} \approx 5.303 \]
Таким образом, длина стороны AC равна \( \frac{15\sqrt{2}}{8} \) или примерно 5.303 единиц.
Ответ:
Сторона AC равна \( \frac{15\sqrt{2}}{8} \) или примерно 5.303.
