4. Известно, что AB = AD и BC = DC (рис. 45). Докажите, что BO = DO.

Чтобы доказать, что \( BO = DO \), давайте разберем задачу шаг за шагом, используя известные нам условия.

1. Дано:

   • \( AB = AD \)
   • \( BC = DC \)

2. Пусть \( O \) — точка пересечения отрезков \( AC \) и \( BD \).

3. Покажем, что △ABO равно △ADO и △BCO равно △DCO.

   Для этого рассмотрим оба треугольника:

   • В треугольнике \( △ABO \) у нас:
     • \( AB = AD \) (по условию),
     • угол \( AOB \) общий для обоих треугольников \( △ABO \) и \( △ADO \),
     • \( AO = AO \) (сторона, которая равна сама себе).

   Так как у нас есть два равных угла и одна сторона (AO), по критерию равенства треугольников (сторона-угол-сторона, SSS) мы получаем: \[ △ABO \cong △ADO \]

4. Аналогично, рассмотрим треугольники \( △BCO \) и \( △DCO \):
   В треугольнике \( △BCO \):

   • \( BC = DC \) (по условию),
   • угол \( BOC \) общий для треугольников \( △BCO \) и \( △DCO \),
   • \( CO = CO \) (сторона, которая равна сама себе).

   Здесь также действуем по критерию SSS: \[ △BCO \cong △DCO \]

5. Теперь, из равенства треугольников можем сделать следующие выводы:

   • Из равенства треугольников \( △ABO \cong △ADO \) следует, что \( BO = DO \).
   • Из равенства треугольников \( △BCO \cong △DCO \) также следует, что \( BO = DO \).

6. Вывод:
   Таким образом, мы доказали, что \( BO = DO \).

Эти шаги показывают, как используя свойства треугольников и равенства сторон, можно прийти к искомому результату.