4. Известно, что AB = AD и BC = DC (рис. 45). Докажите, что BO = DO.

Чтобы доказать, что \( BO = DO \), давайте разберем задачу шаг за шагом, используя известные нам условия. 1. **Дано:** - \( AB = AD \) - \( BC = DC \) 2. **Пусть \( O \) — точка пересечения отрезков \( AC \) и \( BD \).** 3. **Покажем, что △ABO равно △ADO и △BCO равно △DCO.** Для этого рассмотрим оба треугольника: - В треугольнике \( △ABO \) у нас: - \( AB = AD \) (по условию), - угол \( AOB \) общий для обоих треугольников \( △ABO \) и \( △ADO \), - \( AO = AO \) (сторона, которая равна сама себе). Так как у нас есть два равных угла и одна сторона (AO), по критерию равенства треугольников (сторона-угол-сторона, SSS) мы получаем: \[ △ABO \cong △ADO \] 4. **Аналогично, рассмотрим треугольники \( △BCO \) и \( △DCO \):** В треугольнике \( △BCO \): - \( BC = DC \) (по условию), - угол \( BOC \) общий для треугольников \( △BCO \) и \( △DCO \), - \( CO = CO \) (сторона, которая равна сама себе). Здесь также действуем по критерию SSS: \[ △BCO \cong △DCO \] 5. **Теперь, из равенства треугольников можем сделать следующие выводы:** - Из равенства треугольников \( △ABO \cong △ADO \) следует, что \( BO = DO \). - Из равенства треугольников \( △BCO \cong △DCO \) также следует, что \( BO = DO \). 6. **Вывод:** Таким образом, мы доказали, что \( BO = DO \). Эти шаги показывают, как используя свойства треугольников и равенства сторон, можно прийти к искомому результату.