Упражнение 9 из 14 В математическом классе учится 21 ребенком, а филаломическом - 13 детей, Для участия нужно выбрать троих учеников математического класса и пятерых учеников…
Упражнение 9 из 14 В математическом классе учится 21 ребенком, а филаломическом - 13 детей, Для участия нужно выбрать троих учеников математического класса и пятерых учеников филологического класса, Сколькими способами можно это сделать? Запиши числа в полях ответа. Количество способов выбрать троих учеников в математическом классе: Количество способов выбрать пятерых учеников в филологическом кла
Чтобы решить задачу о том, сколькими способами можно выбрать учеников из двух классов, будем использовать формулу комбинаторики для сочетаний. Формула для выбора \( k \) элементов из \( n \) возможных элементов (сочетания) выглядит следующим образом:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
где \( n! \) — факториал числа \( n \) (произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \)).
Шаг 1: Общее количество учеников в математическом классе
Количество учеников в математическом классе: \( n = 21 \)
Количество учеников, которых нужно выбрать: \( k = 3 \)
Используем формулу сочетаний:
\[ C(21, 3) = \frac{21!}{3!(21-3)!} = \frac{21!}{3! \cdot 18!} \]
Шаг 2: Упрощение выражения
Факторial \( 21! \) можно записать как \( 21 \times 20 \times 19 \times 18! \). Это позволяет нам сократить \( 18! \):
\[ C(21, 3) = \frac{21 \times 20 \times 19}{3!} = \frac{21 \times 20 \times 19}{3 \times 2 \times 1} \]
Теперь считаем:
- Вычисляем числитель: \( 21 \times 20 \times 19 = 7980 \)
- Вычисляем знаменатель: \( 3! = 6 \)
Теперь делим:
\[ C(21, 3) = \frac{7980}{6} = 1330 \]
Шаг 3: Общее количество учеников в филологическом классе
Количество учеников в филологическом классе: \( n = 13 \)
Количество учеников, которых нужно выбрать: \( k = 5 \)
Используем формулу сочетаний:
\[ C(13, 5) = \frac{13!}{5!(13-5)!} = \frac{13!}{5! \cdot 8!} \]
Шаг 4: Упрощение выражения
Факторial \( 13! \) можно записать как \( 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8! \):
\[ C(13, 5) = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{5!} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{120} \]
Теперь считаем:
- Вычисляем числитель: \( 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 = 154440 \)
- Вычисляем знаменатель: \( 5! = 120 \)
Теперь делим:
\[ C(13, 5) = \frac{154440}{120} = 1287 \]
Шаг 5: Ответ
Теперь у нас есть количество способов выбрать учеников в каждом классе.
- Количество способов выбрать троих учеников в математическом классе: 1330
- Количество способов выбрать пятерых учеников в филологическом классе: 1287
Таким образом, запишем ответ:
Количество способов выбрать троих учеников в математическом классе: 1330
Количество способов выбрать пятерых учеников в филологическом классе: 1287
