5x^2-6x-12=0

Чтобы решить уравнение \(5x^2 - 6x - 12 = 0\) и понять процесс решения, следуем пошагово:

Шаг 1: Определение коэффициентов

Для квадратного уравнения в стандартной форме \(ax^2 + bx + c = 0\) определим коэффициенты:

• \(a = 5\)
• \(b = -6\)
• \(c = -12\)

Шаг 2: Использование дискриминанта

Чтобы найти корни уравнения, выралим дискриминант \(D\), который вычисляется по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac \]

Подставим значения \(a\), \(b\) и \(c\):

\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-12) \]

Посчитаем:

\[ D = 36 + 240 = 276 \]

Шаг 3: Нахождение корней уравнения

Так как дискриминант положителен (\(D > 0\)), у уравнения два различных корня, которые можно найти по формуле:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим наши значения:

\[ x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{276}}{2 \cdot 5} \]

Упростим:

\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{276}}{10} \]

Шаг 4: Упрощение корня

Теперь упростим \(\sqrt{276}\):

\(\sqrt{276} = \sqrt{4 \cdot 69} = 2\sqrt{69}\)

Теперь подставим это обратно в формулу для корней:

\[ x = \frac{6 \pm 2\sqrt{69}}{10} \]

Упрощаем:

\[ x = \frac{6}{10} \pm \frac{2\sqrt{69}}{10} \] \[ x = \frac{3}{5} \pm \frac{\sqrt{69}}{5} \]

Шаг 5: Итоговые корни

Корни уравнения можно записать как:

\[ x_1 = \frac{3 + \sqrt{69}}{5}, \quad x_2 = \frac{3 - \sqrt{69}}{5} \]

Ответ:

Корни уравнения \(5x^2 - 6x - 12 = 0\) будут:

\[ x_1 = \frac{3 + \sqrt{69}}{5}, \quad x_2 = \frac{3 - \sqrt{69}}{5} \]

Таким образом, мы детально разобрали процесс нахождения корней квадратного уравнения, используя дискриминант и формулу для корней. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно помощь с другим уравнением, не стесняйтесь спрашивать!