2. В треугольнике DNK проведена медиана №Н. Периметр треугольника DNH равен 35 см. периметр треугольника HNK равен 36 см. Найдите периметр треугольника DNK, если №Н = 14 см.
Чтобы найти периметр треугольника DNK, давайте сначала разберемся с теми данными, которые у нас есть.
Периметр треугольника DNH:
- Обозначим стороны треугольника DNH как \(DN\), \(NH\) и \(HD\).
- Из условия, \(DN + NH + HD = 35\) см.
Периметр треугольника HNK:
- Обозначим стороны треугольника HNK как \(HN\), \(NK\) и \(KH\).
- Из условия, \(HN + NK + KH = 36\) см.
Медиана №Н:
- Медиана делит сторону треугольника на две равные части. В нашем случае, сторона \(DK\) делится на две равные части, и это значит, что длина медианы \(HN\) равна 14 см.
Теперь дискуссируем о периметре треугольника DNK. Периметр треугольника можно выразить через стороны DNH и HNK следующим образом:
\[ P(DNK) = DN + NK + DK \]
Где \(DK = 2 \cdot NH\) (так как медиана делит сторону на две равные части).
Шаг 1: Найдем стороны DNH
Из условия:
\[ DN + NH + HD = 35 \]
Шаг 2: Найдем стороны HNK
Из условия:
\[ HN + NK + KH = 36 \]
Шаг 3: Подставим высчитанные стороны
Мы знаем, что \(HN = 14\) см (длина медианы). Подставляем это значение в уравнение для HNK:
\[ 14 + NK + KH = 36 \]
Теперь упрощаем:
\[ NK + KH = 36 - 14 = 22 \]
Шаг 4: Теперь определим длину DK
Поскольку \(DK = NH\) (так как медиана делит треугольник), то мы имеем \(NH = 14\) см. Теперь мы знаем:
- \(DN + NH + HD = 35\)
- \(DN + 14 + HD = 35\)
=>
\[ DN + HD = 35 - 14 = 21 \]
Шаг 5: Находим окончательный периметр
Теперь, чтобы найти периметр DNK, заметим, что:
\[ P(DNK) = DN + NK + DK \]
Теперь подставим известные значения:
- \(DK = 14\) см.
- Мы выразили \(DN + HD = 21\). Далее мы не знаем отдельно DN и HD, но для периметра нам нужна лишь их сумма + 14 см.
Итак, подставим:
\[ P(DNK) = (DN + HD) + NK + DK \]
Так как \(DN + HD = 21\) и \(NK = 22\):
\[ P(DNK) = 21 + 22 + 14 \]
Рассчитав это:
\[ P(DNK) = 57\text{ см} \]
Таким образом, периметр треугольника DNK равен 57 см.
