Чтобы решить задачу, давайте начнем с того, что у нас есть треугольник ABC и выполняется условие:
[
\sin A + \cos B = \sqrt{2}
]
Сначала нужно вспомнить, что сумма углов в треугольнике равна 180°. То есть:
[
A + B + C = 180°
]
Из этого равенства можно выразить угол C:
[
C = 180° - A - B
]
Теперь давайте поработаем с данным равенством (\sin A + \cos B = \sqrt{2}). Мы знаем, что (\sin) и (\cos) принимают свои максимальные значения, равные 1, когда:
[
A = 90° \quad \text{и} \quad B = 0° \quad \text{или} \quad A = 0° \quad \text{и} \quad B = 90°
]
Однако, в нашем случае сумма (\sin A + \cos B) должна равняться (\sqrt{2}). Это возможно, если оба значения (\sin A) и (\cos B) довольно велики, но они могут составлять (\sqrt{2}) только при определенных значениях.
Решение:
Используя значения тригонометрических функций, давайте найдем возможные значения углов.
Если предположить, что (\sin A = \cos B), тогда:
[
2 \sin A = \sqrt{2} \Rightarrow \sin A = \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Это происходит, когда:
[
A = 45°
]
В этом случае:
[
\cos B = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow B = 45°
]
Теперь, когда мы знаем значения углов (A) и (B), подставим их в формулу для (C):
[
C = 180° - A - B = 180° - 45° - 45° = 90°
]
Таким образом, угол (C) треугольника равен (90°).
Ответ:
Угол C треугольника равен 90°.
