решите систему уравнений методом сложения 1){2(5а-4)-3(3-4b)=5 {6(7b-1)-(2+3a)=31
Решим систему уравнений методом сложения. Давайте начнем с того, чтобы привести каждое уравнение к более простому виду.
Наша система уравнений выглядит следующим образом:
- \( 2(5a - 4) - 3(3 - 4b) = 5 \)
- \( 6(7b - 1) - (2 + 3a) = 31 \)
Шаг 1: Упростим первое уравнение.
Распределим множители в первом уравнении:
\[ 2(5a) - 2(4) - 3(3) + 3(4b) = 5 \]
Это даст:
\[ 10a - 8 - 9 + 12b = 5 \]
Упрощаем:
\[ 10a + 12b - 17 = 5 \]
Теперь добавим 17 ко всем частям уравнения:
\[ 10a + 12b = 22 \quad (1) \]
Шаг 2: Упростим второе уравнение.
Распределим множители во втором уравнении:
\[ 6(7b) - 6(1) - 2 - 3a = 31 \]
Это даст:
\[ 42b - 6 - 2 - 3a = 31 \]
Упрощаем:
\[ 42b - 8 - 3a = 31 \]
Теперь добавим 8 ко всем частям уравнения:
\[ 42b - 3a = 39 \quad (2) \]
Теперь у нас есть следующая система уравнений:
- \( 10a + 12b = 22 \)
- \( -3a + 42b = 39 \)
Шаг 3: Умножим первое уравнение на 3, чтобы согласовать коэффициенты при \( a \).
Умножим первое уравнение на 3:
\[ 3(10a + 12b) = 3(22) \]
Это даст:
\[ 30a + 36b = 66 \quad (3) \]
Теперь у нас новая система:
- \( 30a + 36b = 66 \)
- \( -3a + 42b = 39 \)
Шаг 4: Теперь сложим уравнения (3) и (2).
Умножим второе уравнение на 10, чтобы уравнять коэффициенты при \( a \):
\[ 10(-3a + 42b) = 10(39) \]
Это даст:
\[ -30a + 420b = 390 \quad (4) \]
Теперь у нас есть:
- \( 30a + 36b = 66 \)
- \( -30a + 420b = 390 \)
Теперь сложим уравнения (3) и (4):
\[ (30a - 30a) + (36b + 420b) = 66 + 390 \]
Из этого получаем:
\[ 456b = 456 \]
Это означает, что:
\[ b = \frac{456}{456} = 1 \]
Шаг 5: Подставим значение \( b \) в одно из уравнений для нахождения \( a \).
Возьмем первое уравнение \( 10a + 12b = 22 \) и подставим \( b = 1 \):
\[ 10a + 12(1) = 22 \] \[ 10a + 12 = 22 \]
Вычтем 12 из обеих сторон:
\[ 10a = 22 - 12 \] \[ 10a = 10 \]
Теперь разделим обе стороны на 10:
\[ a = 1 \]
Шаг 6: Запишем решение.
Таким образом, решение системы уравнений:
\[ a = 1, \quad b = 1 \]
Теперь вы можете проверить, подставив найденные значения обратно в исходные уравнения!
