В какой системе счисления х число 1011 в х системе счисления равно 11 в десятой системе счисления?

Чтобы решить задачу, давайте разберемся, что значит, что число \( 1011 \) в системе счисления с основанием \( x \) равно \( 11 \) в десятичной системе счисления. 1. **Запись числа в произвольной системе счисления:** Число \( 1011 \) в системе счисления \( x \) можно записать в десятичной системе следующим образом: \[ 1011_x = 1 \cdot x^3 + 0 \cdot x^2 + 1 \cdot x^1 + 1 \cdot x^0 \] Упрощая это, получаем: \[ 1011_x = 1 \cdot x^3 + 0 \cdot x^2 + 1 \cdot x + 1 \] \[ = x^3 + x + 1 \] 2. **Запись числа 11 в десятичной системе:** Число \( 11 \) в десятичной системе равняется \( 11 \). 3. **Сравнение двух выражений:** Мы получили, что: \[ x^3 + x + 1 = 11 \] 4. **Переносим 11 влево:** Теперь у нас получается уравнение: \[ x^3 + x + 1 - 11 = 0 \] \[ x^3 + x - 10 = 0 \] 5. **Решаем уравнение:** Чтобы найти корни, можно попробовать подставить различные целые значения для \( x \). - Для \( x = 2 \): \[ 2^3 + 2 - 10 = 8 + 2 - 10 = 0 \quad (\text{Корень}) \] - Чтобы удостовериться, что это единственный корень с положительным \( x \), проверим следующее значение: - Для \( x = 3 \): \[ 3^3 + 3 - 10 = 27 + 3 - 10 = 20 \quad (\text{Не корень}) \] - Для \( x = 1 \): \[ 1^3 + 1 - 10 = 1 + 1 - 10 = -8 \quad (\text{Не корень}) \] Видим, что \( x = 2 \) является единственным целым положительным решением. Таким образом, основание системы счисления \( x \), в которой число \( 1011 \) равно \( 11 \) в десятичной системе, равно \( 2 \).