Седьмой и одиннадцатый члены геометрической прогрессии равны 99 99 и 0 , 8019 0,8019 соответственно. Найди сумму членов прогрессии, заключённых между ними.
Для решения данной задачи будем использовать свойства геометрической прогрессии (ГП).
1. Определим элементы прогрессии:
Пусть первый член геометрической прогрессии равен \( a \), а общее отношение прогрессии — \( r \). Тогда можно выразить седьмой и одиннадцатый члены ГП следующим образом:
- Седьмой член: \( a_7 = a \cdot r^{6} = 99 \)
- Одиннадцатый член: \( a_{11} = a \cdot r^{10} = 0.8019 \)
2. Составим систему уравнений:
У нас есть два уравнения:
- \( a \cdot r^{6} = 99 \) (1)
- \( a \cdot r^{10} = 0.8019 \) (2)
Теперь мы можем выразить \( a \) из уравнения (1):
\[ a = \frac{99}{r^6} \]
Подставим \( a \) в уравнение (2):
\[ \frac{99}{r^6} \cdot r^{10} = 0.8019 \]
3. Упрощаем уравнение:
Упростим его:
\[ 99 \cdot r^{4} = 0.8019 \]
Теперь найдем \( r^4 \):
\[ r^{4} = \frac{0.8019}{99} \]
\[ r^{4} \approx 0.0081 \]
Теперь найдём \( r \):
\[ r = \sqrt[4]{0.0081} = 0.3 \]
4. Подставим значение \( r \) в первое уравнение для нахождения \( a \):
Теперь, когда мы знаем \( r \), подставим его в уравнение для нахождения \( a \):
\[ a = \frac{99}{(0.3)^{6}} \]
Посчитаем \( (0.3)^{6} \):
\[ (0.3)^{6} = 0.000729 \]
Теперь подставим это значение:
\[ a = \frac{99}{0.000729} \approx 135.0 \]
5. Найдём члены прогрессии, заключённые между седьмым и одиннадцатым:
Члены между седьмым и одиннадцатым:
- Восьмой: \( a_8 = a \cdot r^{7} \)
- Девятый: \( a_9 = a \cdot r^{8} \)
- Десятый: \( a_{10} = a \cdot r^{9} \)
Посчитаем:
- Для \( a_8 = 135 \cdot (0.3)^{7} \approx 135 \cdot 0.02187 \approx 2.95 \)
- Для \( a_9 = 135 \cdot (0.3)^{8} \approx 135 \cdot 0.006561 \approx 0.885 \)
- Для \( a_{10} = 135 \cdot (0.3)^{9} \approx 135 \cdot 0.0019683 \approx 0.265 \)
6. Найдём сумму членов, заключённых между ними:
Теперь найдем сумму \( a_8 + a_9 + a_{10} \):
\[ S = a_8 + a_9 + a_{10} \approx 2.95 + 0.885 + 0.265 \approx 4.1 \]
Таким образом, сумма членов прогрессии, заключённых между седьмым и одиннадцатым членами, составляет примерно 4.1.
