Для решения данной задачи будем использовать свойства геометрической прогрессии (ГП).
1. Определим элементы прогрессии:
Пусть первый член геометрической прогрессии равен ( a ), а общее отношение прогрессии — ( r ). Тогда можно выразить седьмой и одиннадцатый члены ГП следующим образом:
- Седьмой член: ( a_7 = a \cdot r^{6} = 99 )
- Одиннадцатый член: ( a_{11} = a \cdot r^{10} = 0.8019 )
2. Составим систему уравнений:
У нас есть два уравнения:
- ( a \cdot r^{6} = 99 ) (1)
- ( a \cdot r^{10} = 0.8019 ) (2)
Теперь мы можем выразить ( a ) из уравнения (1):
[
a = \frac{99}{r^6}
]
Подставим ( a ) в уравнение (2):
[
\frac{99}{r^6} \cdot r^{10} = 0.8019
]
3. Упрощаем уравнение:
Упростим его:
[
99 \cdot r^{4} = 0.8019
]
Теперь найдем ( r^4 ):
[
r^{4} = \frac{0.8019}{99}
]
[
r^{4} \approx 0.0081
]
Теперь найдём ( r ):
[
r = \sqrt[4]{0.0081} = 0.3
]
4. Подставим значение ( r ) в первое уравнение для нахождения ( a ):
Теперь, когда мы знаем ( r ), подставим его в уравнение для нахождения ( a ):
[
a = \frac{99}{(0.3)^{6}}
]
Посчитаем ( (0.3)^{6} ):
[
(0.3)^{6} = 0.000729
]
Теперь подставим это значение:
[
a = \frac{99}{0.000729} \approx 135.0
]
5. Найдём члены прогрессии, заключённые между седьмым и одиннадцатым:
Члены между седьмым и одиннадцатым:
- Восьмой: ( a_8 = a \cdot r^{7} )
- Девятый: ( a_9 = a \cdot r^{8} )
- Десятый: ( a_{10} = a \cdot r^{9} )
Посчитаем:
- Для ( a_8 = 135 \cdot (0.3)^{7} \approx 135 \cdot 0.02187 \approx 2.95 )
- Для ( a_9 = 135 \cdot (0.3)^{8} \approx 135 \cdot 0.006561 \approx 0.885 )
- Для ( a_{10} = 135 \cdot (0.3)^{9} \approx 135 \cdot 0.0019683 \approx 0.265 )
6. Найдём сумму членов, заключённых между ними:
Теперь найдем сумму ( a_8 + a_9 + a_{10} ):
[
S = a_8 + a_9 + a_{10} \approx 2.95 + 0.885 + 0.265 \approx 4.1
]
Таким образом, сумма членов прогрессии, заключённых между седьмым и одиннадцатым членами, составляет примерно 4.1.
