Решить
Для решения задач воспользуемся тригонометрическими свойствами и формулами.
Задача: \(\frac{\cot \alpha + \tan \alpha}{\cot \alpha - \tan \alpha}\)
Известно, что \(\tan \alpha = 2\).
Вспомним, что \(\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{2}\).
Подставим эти значения в выражение:
\[ \frac{\frac{1}{2} + 2}{\frac{1}{2} - 2} \]
Вычислим числитель:
\[ \frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{2} + \frac{4}{2} = \frac{5}{2} \]
Вычислим знаменатель:
\[ \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{3}{2} \]
Теперь все выражение:
\[ \frac{\frac{5}{2}}{-\frac{3}{2}} = \frac{5}{2} \times -\frac{2}{3} = -\frac{5}{3} \]
Значение первого выражения: \(-\frac{5}{3}\).
Задача: \(\frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}\)
Поскольку \(\tan \alpha = 2\), воспользуемся формулой: \(\sin \alpha = \frac{\tan \alpha}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}}\) и \(\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}}\).
\(\tan^2 \alpha = 4\), поэтому \(1 + \tan^2 \alpha = 5\).
\[ \sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} \] \[ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} \]
Подставляем в выражение:
\[ \frac{\frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{3}{\sqrt{5}}} \]
Сократив дроби, получим:
\[ \frac{1}{3} \]
Значение второго выражения: \(\frac{1}{3}\).
Вот и окончательные результаты: первое выражение \(-\frac{5}{3}\), второе выражение \(\frac{1}{3}\).
