Решить

Для решения задач воспользуемся тригонометрическими свойствами и формулами. 1. **Задача:** \(\frac{\cot \alpha + \tan \alpha}{\cot \alpha - \tan \alpha}\) Известно, что \(\tan \alpha = 2\). Вспомним, что \(\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{2}\). Подставим эти значения в выражение: \[ \frac{\frac{1}{2} + 2}{\frac{1}{2} - 2} \] Вычислим числитель: \[ \frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{2} + \frac{4}{2} = \frac{5}{2} \] Вычислим знаменатель: \[ \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{3}{2} \] Теперь все выражение: \[ \frac{\frac{5}{2}}{-\frac{3}{2}} = \frac{5}{2} \times -\frac{2}{3} = -\frac{5}{3} \] Значение первого выражения: \(-\frac{5}{3}\). 2. **Задача:** \(\frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}\) Поскольку \(\tan \alpha = 2\), воспользуемся формулой: \(\sin \alpha = \frac{\tan \alpha}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}}\) и \(\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}}\). \(\tan^2 \alpha = 4\), поэтому \(1 + \tan^2 \alpha = 5\). \[ \sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} \] \[ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} \] Подставляем в выражение: \[ \frac{\frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{3}{\sqrt{5}}} \] Сократив дроби, получим: \[ \frac{1}{3} \] Значение второго выражения: \(\frac{1}{3}\). Вот и окончательные результаты: первое выражение \(-\frac{5}{3}\), второе выражение \(\frac{1}{3}\).