Решить графически {X+2y=5 {0,5y+x=-1
Чтобы решить систему уравнений графически, мы сначала преобразуем каждое уравнение в явный вид \(y = f(x)\). Это упростит построение графиков.
Шаг 1: Преобразуем уравнения
Первое уравнение: \(X + 2y = 5\)
Переносим \(X\) в правую часть:
\[ 2y = 5 - x \]
Теперь делим на 2, чтобы выразить \(y\):
\[ y = \frac{5 - x}{2} = \frac{5}{2} - \frac{1}{2}x \]
Это уравнение имеет вид \(y = mx + b\), где \(m = -\frac{1}{2}\) — наклон, а \(b = \frac{5}{2}\) — пересечение с осью \(y\).
Второе уравнение: \(0.5y + x = -1\)
Переносим \(x\) в правую часть:
\[ 0.5y = -1 - x \]
Теперь умножаем всё на 2, чтобы избавиться от дроби:
\[ y = -2 - 2x \]
Здесь наклон \(m = -2\), а пересечение с осью \(y\) \(b = -2\).
Шаг 2: Построение графиков
Теперь у нас есть два уравнения:
- \(y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}\)
- \(y = -2 - 2x\)
Построение первого графика:
Пересечение с осью \(y\) в точке \((0, \frac{5}{2})\) или \((0, 2.5)\).
Пересечение с осью \(x\) (для этого, когда \(y = 0\)):
\[ 0 = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2} \implies \frac{1}{2}x = \frac{5}{2} \implies x = 5 \]
Теперь у нас есть две точки: \((0, 2.5)\) и \((5, 0)\). Соединяем их прямой линией.
Построение второго графика:
Пересечение с осью \(y\) в точке \((0, -2)\).
Пересечение с осью \(x\) (когда \(y = 0\)):
\[ 0 = -2 - 2x \implies 2x = -2 \implies x = -1 \]
Теперь у нас есть две точки: \((0, -2)\) и \((-1, 0)\). Соединяем их линией.
Шаг 3: Поиск точки пересечения
Теперь, чтобы найти точку пересечения, можем подставить одно уравнение в другое. Например, можно взять \(y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}\) и подставить во второе уравнение:
- \( -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2} = -2 - 2x \)
Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей:
\[ -x + 5 = -4 - 4x \]
Переносим все \(x\) в одну сторону:
\[ 3x + 5 = -4 \implies 3x = -9 \implies x = -3 \]
Теперь подставим значение \(x = -3\) в одно из уравнений, чтобы найти \(y\):
\[ y = -\frac{1}{2}(-3) + \frac{5}{2} = \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]
Ответ
Точка пересечения двух линий является \( (-3, 4) \).
Таким образом, мы нашли решение системы уравнений графически: точка пересечения \( (-3, 4) \).
