Чтобы найти сумму первых девяти членов геометрической прогрессии (ГП), необходимо сначала определить главный параметр прогрессии — знаменатель. Давайте подробно разберем задачу.
Шаг 1: Определим параметры прогрессии
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии (обозначим его (q)).
Первый член данной ГП обозначим как (a_1 = 5), а второй член — (a_2 = -10).
Чтобы найти знаменатель, используем формулу:
[
q = \frac{a_2}{a_1}
]
Подставим известные значения:
[
q = \frac{-10}{5} = -2
]
Шаг 2: Составим формулу для n-го члена прогрессии
Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии выглядит так:
[
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
]
Для нашей последовательности:
[
a_n = 5 \cdot (-2)^{n-1}
]
Шаг 3: Найдем сумму первых n членов ГП
Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии:
[
S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (где ; q \neq 1)
]
Шаг 4: Подставим значения для S9
В нашем случае:
- (a_1 = 5)
- (q = -2)
- (n = 9)
Подставим эти значения в формулу суммы:
[
S_9 = 5 \cdot \frac{1 - (-2)^9}{1 - (-2)}
]
Сначала вычислим ( (-2)^9 ):
[
(-2)^9 = -512
]
Теперь подставим это значение в формулу:
[
S_9 = 5 \cdot \frac{1 - (-512)}{1 + 2}
]
[
S_9 = 5 \cdot \frac{1 + 512}{3}
]
[
S_9 = 5 \cdot \frac{513}{3}
]
[
S_9 = 5 \cdot 171
]
[
S_9 = 855
]
Ответ
Сумма первых девяти членов геометрической прогрессии равна (S_9 = 855).
