Найди сумму первых девяти членов геометрической прогрессии:5;-10;... S9=?

Чтобы найти сумму первых девяти членов геометрической прогрессии (ГП), необходимо сначала определить главный параметр прогрессии — знаменатель. Давайте подробно разберем задачу.

Шаг 1: Определим параметры прогрессии

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии (обозначим его \(q\)).

Первый член данной ГП обозначим как \(a_1 = 5\), а второй член — \(a_2 = -10\).

Чтобы найти знаменатель, используем формулу:

\[ q = \frac{a_2}{a_1} \]

Подставим известные значения:

\[ q = \frac{-10}{5} = -2 \]

Шаг 2: Составим формулу для n-го члена прогрессии

Общая формула для n-го члена геометрической прогрессии выглядит так:

\[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \]

Для нашей последовательности:

\[ a_n = 5 \cdot (-2)^{n-1} \]

Шаг 3: Найдем сумму первых n членов ГП

Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии:

\[ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (где \; q \neq 1) \]

Шаг 4: Подставим значения для S9

В нашем случае:

• \(a_1 = 5\)
• \(q = -2\)
• \(n = 9\)

Подставим эти значения в формулу суммы:

\[ S_9 = 5 \cdot \frac{1 - (-2)^9}{1 - (-2)} \]

Сначала вычислим \( (-2)^9 \):

\[ (-2)^9 = -512 \]

Теперь подставим это значение в формулу:

\[ S_9 = 5 \cdot \frac{1 - (-512)}{1 + 2} \] \[ S_9 = 5 \cdot \frac{1 + 512}{3} \] \[ S_9 = 5 \cdot \frac{513}{3} \] \[ S_9 = 5 \cdot 171 \] \[ S_9 = 855 \]

Ответ

Сумма первых девяти членов геометрической прогрессии равна \(S_9 = 855\).