реши систему уравнения х^2≥81 х^2+10х<0

Чтобы решить систему уравнений \( x^2 \geq 81 \) и \( x^2 + 10x < 0 \), рассмотрим каждое неравенство отдельно, а затем найдем пересечение их решений.

Шаг 1: Решение неравенства \( x^2 \geq 81 \)

1. Перепишем неравенство: \[ x^2 - 81 \geq 0 \]

2. Это можно записать как разность квадратов: \[ (x - 9)(x + 9) \geq 0 \]

3. Найдем корни: \( x - 9 = 0 \) дает \( x = 9 \), а \( x + 9 = 0 \) дает \( x = -9 \).

4. На числовой прямой выделим интервалы:

   • \( (-\infty, -9) \)
   • \( [-9, 9] \)
   • \( (9, +\infty) \)

5. Проверим знаки на каждом интервале:

   • Для \( x < -9 \) (например, \( x = -10 \)): \( (-10 - 9)(-10 + 9) = (-19)(-1) > 0 \)
   • Для \( -9 < x < 9 \) (например, \( x = 0 \)): \( (0 - 9)(0 + 9) = (-9)(9) < 0 \)
   • Для \( x > 9 \) (например, \( x = 10 \)): \( (10 - 9)(10 + 9) = (1)(19) > 0 \)

6. Таким образом, решение первого неравенства: \[ x \in (-\infty, -9] \cup [9, +\infty) \]

Шаг 2: Решение неравенства \( x^2 + 10x < 0 \)

1. Перепишем неравенство: \[ x^2 + 10x < 0 \]

2. Мы можем вынести \( x \): \[ x(x + 10) < 0 \]

3. Найдем корни: \( x = 0 \) и \( x + 10 = 0 \) дает \( x = -10 \).

4. На числовой прямой выделим интервалы:

   • \( (-\infty, -10) \)
   • \( [-10, 0] \)
   • \( (0, +\infty) \)

5. Проверим знаки на каждом интервале:

   • Для \( x < -10 \) (например, \( x = -11 \)): \( (-11)(-1) > 0 \)
   • Для \( -10 < x < 0 \) (например, \( x = -5 \)): \( (-5)(5) < 0 \)
   • Для \( x > 0 \) (например, \( x = 1 \)): \( (1)(11) > 0 \)

6. Таким образом, решение второго неравенства: \[ x \in (-10, 0) \]

Шаг 3: Пересечение решений

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств:

1. Решение первого неравенства: \( x \in (-\infty, -9] \cup [9, +\infty) \)
2. Решение второго неравенства: \( x \in (-10, 0) \)

Пересечение:

• Из первого неравенства \( x \in (-\infty, -9] \) и из второго \( x \in (-10, 0) \).

Таким образом, пересечение: \[ x \in (-10, -9] \]

Ответ

Система неравенств имеет решение: \[ x \in (-10, -9] \]