7. Упрости выражение a 2 + 7 a a 2 + 14 a + 49 a 2 +14a+49 a 2 +7a и найди его значение при a = − 3 a=−3 .
Давайте упрощать выражение шаг за шагом и затем найдём его значение при \( a = -3 \).
Шаг 1: Упрощение выражения
Исходное выражение: \[ \frac{a^2 + 7a}{a^2 + 14a + 49} + \frac{a^2 + 7a}{7a} \]
Первое выражение:
- Обратите внимание на знаменатель \( a^2 + 14a + 49 \). Это можно упростить, так как оно является квадратом двучлена: \[ a^2 + 14a + 49 = (a + 7)^2 \]
Таким образом, первое слагаемое становится: \[ \frac{a^2 + 7a}{(a + 7)^2} \]
- Теперь мы приведём первое выражение к более удобному виду. Заметим, что \( a^2 + 7a = a(a + 7) \), следовательно: \[ \frac{a(a + 7)}{(a + 7)^2} = \frac{a}{a + 7} \quad (a + 7 \neq 0) \]
Второе выражение:
Теперь упростим второе слагаемое \( \frac{a^2 + 7a}{7a} \):
- Точно так же, как и до этого: \[ \frac{a^2 + 7a}{7a} = \frac{a(a + 7)}{7a} = \frac{a + 7}{7} \quad (a \neq 0) \]
Шаг 2: Объединение всех частей
Теперь можем объединим оба выражения: \[ \frac{a}{a + 7} + \frac{a + 7}{7} \]
Теперь мы найдём общий знаменатель. Общий знаменатель здесь будет \( 7(a + 7) \).
Обозначим \( \frac{a}{a + 7} \): \[ \frac{7a}{7(a + 7)} \]
Теперь для второго выражения: \[ \frac{(a + 7)^2}{7(a + 7)} \quad \text{(умножаем числитель и знаменатель на } a + 7\text{)} \]
Объединяем: \[ \frac{7a + (a + 7)^2}{7(a + 7)} \]
Шаг 3: Упрощение числителя
Теперь у нас: \[ (a + 7)^2 = a^2 + 14a + 49 \] Следовательно: \[ 7a + a^2 + 14a + 49 = a^2 + 21a + 49 \]
Таким образом, у нас получается выражение: \[ \frac{a^2 + 21a + 49}{7(a + 7)} \]
Шаг 4: Подстановка значения \( a = -3 \)
Теперь найдем значение этого выражения при \( a = -3 \): \[ \frac{(-3)^2 + 21(-3) + 49}{7(-3 + 7)} = \frac{9 - 63 + 49}{7 \cdot 4} = \frac{-5}{28} \]
Ответ
Таким образом, значение выражения при \( a = -3 \): \[ \frac{-5}{28} \]
