Давайте упрощать выражение шаг за шагом и затем найдём его значение при ( a = -3 ).
Шаг 1: Упрощение выражения
Исходное выражение:
[
\frac{a^2 + 7a}{a^2 + 14a + 49} + \frac{a^2 + 7a}{7a}
]
Первое выражение:
- Обратите внимание на знаменатель ( a^2 + 14a + 49 ). Это можно упростить, так как оно является квадратом двучлена:
[
a^2 + 14a + 49 = (a + 7)^2
]
Таким образом, первое слагаемое становится:
[
\frac{a^2 + 7a}{(a + 7)^2}
]
- Теперь мы приведём первое выражение к более удобному виду. Заметим, что ( a^2 + 7a = a(a + 7) ), следовательно:
[
\frac{a(a + 7)}{(a + 7)^2} = \frac{a}{a + 7} \quad (a + 7 \neq 0)
]
Второе выражение:
Теперь упростим второе слагаемое ( \frac{a^2 + 7a}{7a} ):
- Точно так же, как и до этого:
[
\frac{a^2 + 7a}{7a} = \frac{a(a + 7)}{7a} = \frac{a + 7}{7} \quad (a \neq 0)
]
Шаг 2: Объединение всех частей
Теперь можем объединим оба выражения:
[
\frac{a}{a + 7} + \frac{a + 7}{7}
]
Теперь мы найдём общий знаменатель. Общий знаменатель здесь будет ( 7(a + 7) ).
Обозначим ( \frac{a}{a + 7} ):
[
\frac{7a}{7(a + 7)}
]
Теперь для второго выражения:
[
\frac{(a + 7)^2}{7(a + 7)} \quad \text{(умножаем числитель и знаменатель на } a + 7\text{)}
]
Объединяем:
[
\frac{7a + (a + 7)^2}{7(a + 7)}
]
Шаг 3: Упрощение числителя
Теперь у нас:
[
(a + 7)^2 = a^2 + 14a + 49
]
Следовательно:
[
7a + a^2 + 14a + 49 = a^2 + 21a + 49
]
Таким образом, у нас получается выражение:
[
\frac{a^2 + 21a + 49}{7(a + 7)}
]
Шаг 4: Подстановка значения ( a = -3 )
Теперь найдем значение этого выражения при ( a = -3 ):
[
\frac{(-3)^2 + 21(-3) + 49}{7(-3 + 7)} = \frac{9 - 63 + 49}{7 \cdot 4} = \frac{-5}{28}
]
Ответ
Таким образом, значение выражения при ( a = -3 ):
[
\frac{-5}{28}
]
