A) На конференцию собрались учёные. Могло ли оказаться так, что каждый из них знаком с четырьмя другими учёными, кроме троих, которые знакомы ровно с пятью другими? б) В поход собралась большая группа туристов. Некоторые из них были знакомы прежде. Покажите, что туристов, которые были знакомы с нечётным количеством других туристов, чётное

### Решение задачи #### Задача (a): **Условие:** На конференцию собрались учёные. Могло ли оказаться так, что каждый из них знаком с четырьмя другими учеными, кроме троих, которые знакомы ровно с пятью другими? **Решение:** 1. **Понимание задачи:** Нам нужно понять, возможно ли такое знакомство среди учёных. Учёные, о которых идет речь, могут быть связаны в графе, где узлы — это учёные, а ребра — это знакомство между ними. 2. **Предположения:** - Пусть всего `n` учёных на конференции. - Каждый из `n - 3` учёных знаком с 4 другими, а 3 учёных знакомы с 5 другими. 3. **Степени вершин:** - Учёные, кроме троих, имеют степень 4. - А трое учёных имеют степень 5. 4. **Сумма степеней:** - Суммируем степени всех учёных: \[ (n - 3) \cdot 4 + 3 \cdot 5 \] - Упрощаем: \[ 4n - 12 + 15 = 4n + 3 \] 5. **Четность суммы степеней:** - В графе сумма степеней всех вершин всегда чётная (поскольку каждое звено соединяет две вершины, и мы считаем его дважды). - Следовательно, \( 4n + 3 \) должно быть чётным, что возможно только в том случае, если \( n \) — нечётное число. 6. **Заключение:** - Сумма \( 4n + 3 \) всегда нечётна, следовательно, такая конфигурация учёных невозможна. #### Задача (б): **Условие:** В поход собралась большая группа туристов. Некоторые из них были знакомы прежде. Покажите, что туристов, которые были знакомы с нечётным количеством других туристов, чётное число. **Решение:** 1. **Графовое представление:** Обозначим туристов как вершины графа, а знакомства между ними как ребра. 2. **Степени вершин:** Степень вершины показывает число знакомых с данным туристом. 3. **Определение нечётных степеней:** У нас есть некоторый набор вершин (туристов) с нечётными степенями. 4. **Сумма всех степеней:** Как и ранее, сумма степеней всех вершин характера (всех туристов) равна удвоенному количеству рёбер, и поэтому она всегда четная. 5. **Сумма всех степеней, включая нечётные:** - Пусть \( k \) — количество туристов с нечётным количеством знакомых, и пусть \( s \) — сумма их степеней. Так как каждый турист с нечётной степенью добавляет 1 к общей четности суммы, количество нечетных степеней должно быть чётным — иначе всего бы не удалось сделать четным. 6. **Заключение:** - Таким образом, количество туристов, знакомых с нечётным количеством других туристов, должно быть чётным. ### Итог - В задаче (а) показано, что такая конфигурация знакомств невозможна. - В задаче (б) доказано, что туристов с нечётным количеством знакомств всегда будет чётное число.