Дана прямоугольная трапеция M N K L MNKL с основаниями M L = 240 ML=240 мм и N K = 192 NK=192 мм. Найди её площадь, если ∠ K L M = 45 ° ∠KLM=45° . Вырази ответ в дм 2 2

Чтобы найти площадь прямоугольной трапеции \( MNKL \) с основаниями \( ML = 240 \) мм и \( NK = 192 \) мм, а также углом \( \angle KLM = 45^\circ \), давайте разберем решение шаг за шагом.

Шаг 1: Определение высоты трапеции

Прямоугольная трапеция имеет два основания (в нашем случае \( ML \) и \( NK \)) и высоту, которая перпендикулярна основаниям. Мы можем использовать угол \( \angle KLM \) для нахождения высоты \( h \).

Поскольку \( \angle KLM = 45^\circ \), мы можем заметить, что в прямоугольном треугольнике \( KLM \):

\[ \tan(45^\circ) = \frac{h}{x} \]

где \( x \) — это горизонтальная проекция от точки \( K \) до вертикали, опущенной из точки \( L \).

Поскольку \( \tan(45^\circ) = 1 \), можно записать:

\[ h = x \]

Шаг 2: Связь между основаниями и горизонтальными проекциями

Длина основания \( ML \) больше длины основания \( NK \). Разница между ними равна

\[ MN = ML - NK = 240 \, \text{мм} - 192 \, \text{мм} = 48 \, \text{мм} \]

Эта разница \( MN \) равна двойной горизонтальной проекции \( x \), так как точки \( M \) и \( N \) «съезжают» вниз от точки \( L \):

\[ MN = 2x \]

Следовательно,

\[ x = \frac{MN}{2} = \frac{48 \, \text{мм}}{2} = 24 \, \text{мм} \]

Теперь, зная, что \( h = x \):

\[ h = 24 \, \text{мм} \]

Шаг 3: Площадь трапеции

Площадь \( S \) трапеции можно вычислить по формуле:

\[ S = \frac{(a + b)}{2} \cdot h \]

где \( a \) и \( b \) — длины оснований, а \( h \) — высота.

Подставим наши значения:

• \( a = ML = 240 \, \text{мм} \)
• \( b = NK = 192 \, \text{мм} \)
• \( h = 24 \, \text{мм} \)

Тогда площадь:

\[ S = \frac{(240 \, \text{мм} + 192 \, \text{мм})}{2} \cdot 24 \, \text{мм} \]

\[ S = \frac{432 \, \text{мм}}{2} \cdot 24 \, \text{мм} = 216 \, \text{мм} \cdot 24 \, \text{мм} = 5184 \, \text{мм}^2 \]

Шаг 4: Перевод в квадратные дециметры

Теперь переведем полученную площадь из квадратных миллиметров в квадратные дециметры.

Зная, что \( 1 \, \text{дм}^2 = 10000 \, \text{мм}^2 \):

\[ S = \frac{5184 \, \text{мм}^2}{10000} = 0.5184 \, \text{дм}^2 \]

Ответ

Таким образом, площадь трапеции \( MNKL \) составляет \( 0.5184 \, \text{дм}^2 \).