Задан прямоугольник ABCD. K – середина AB, L – середина BC, M – середина CD, N – середина AD.
а) Докажите, что KLMN – ромб (14 баллов).
б) Найдите периметр и площадь KLMN, если AB = 18 см, BC = 24 см (16 баллов).
Для решения данной задачи пройдемся по каждому из пунктов по очереди.
### Часть а): Докажите, что KLMN – ромб.
1. **Определение точек K, L, M и N**:
- Пусть \( A(0, 0) \), \( B(18, 0) \), \( C(18, 24) \), \( D(0, 24) \).
- Поскольку K — середина AB, то её координаты:
\[
K \left( \frac{0 + 18}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = K(9, 0)
\]
- Поскольку L — середина BC, то её координаты:
\[
L \left( \frac{18 + 18}{2}, \frac{0 + 24}{2} \right) = L(18, 12)
\]
- Поскольку M — середина CD, то её координаты:
\[
M \left( \frac{18 + 0}{2}, \frac{24 + 24}{2} \right) = M(9, 24)
\]
- Поскольку N — середина AD, то её координаты:
\[
N \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 24}{2} \right) = N(0, 12)
\]
2. **Нахождение длин сторон KLMN**:
- Найдем длину \( KL \):
\[
KL = \sqrt{(18 - 9)^2 + (12 - 0)^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15
\]
- Найдем длину \( LM \):
\[
LM = \sqrt{(9 - 18)^2 + (24 - 12)^2} = \sqrt{(-9)^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15
\]
- Найдем длину \( MN \):
\[
MN = \sqrt{(9 - 0)^2 + (24 - 12)^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15
\]
- Найдем длину \( NK \):
\[
NK = \sqrt{(0 - 9)^2 + (12 - 0)^2} = \sqrt{(-9)^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15
\]
3. **Сравнение длин сторон**:
- Мы увидели, что все четыре стороны KLMN равны между собой и равны 15 см. Это означает, что KLMN – равносторонний четырехугольник.
4. **Проверка диагоналей**:
- Найдем длину диагоналей \( KM \) и \( LN \):
- Длина \( KM \):
\[
KM = \sqrt{(9 - 9)^2 + (24 - 0)^2} = \sqrt{0 + 24^2} = 24
\]
- Длина \( LN \):
\[
LN = \sqrt{(0 - 18)^2 + (12 - 12)^2} = \sqrt{(-18)^2} = 18
\]
5. **Заключение**:
- Так как все стороны равны, а сечения диагоналей равны на 90 градусов, то KLMN является ромбом.
### Часть б): Найдите периметр и площадь KLMN.
1. **Периметр ромба**:
\[
P = 4 \cdot KL = 4 \cdot 15 = 60 \text{ см}
\]
2. **Площадь ромба**:
Площадь ромба можно найти по формуле \( S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \), где \( d_1 \) и \( d_2 \) — длины диагоналей.
\[
S = \frac{24 \cdot 18}{2} = \frac{432}{2} = 216 \text{ см}^2
\]
### Ответы:
а) KLMN является ромбом.
б) Периметр \( KLMN = 60 \) см, площадь \( KLMN = 216 \) см².
