Задан прямоугольник ABCD. K – середина AB, L – середина BC, M – середина CD, N – середина AD. а) Докажите, что KLMN – ромб (14 баллов). б) Найдите периметр и площадь KLMN, если AB…

Для решения данной задачи пройдемся по каждому из пунктов по очереди.

Часть а): Докажите, что KLMN – ромб.

1. Определение точек K, L, M и N:

   • Пусть \( A(0, 0) \), \( B(18, 0) \), \( C(18, 24) \), \( D(0, 24) \).
   • Поскольку K — середина AB, то её координаты: \[ K \left( \frac{0 + 18}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = K(9, 0) \]
   • Поскольку L — середина BC, то её координаты: \[ L \left( \frac{18 + 18}{2}, \frac{0 + 24}{2} \right) = L(18, 12) \]
   • Поскольку M — середина CD, то её координаты: \[ M \left( \frac{18 + 0}{2}, \frac{24 + 24}{2} \right) = M(9, 24) \]
   • Поскольку N — середина AD, то её координаты: \[ N \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 24}{2} \right) = N(0, 12) \]

2. Нахождение длин сторон KLMN:

   • Найдем длину \( KL \): \[ KL = \sqrt{(18 - 9)^2 + (12 - 0)^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \]
   • Найдем длину \( LM \): \[ LM = \sqrt{(9 - 18)^2 + (24 - 12)^2} = \sqrt{(-9)^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \]
   • Найдем длину \( MN \): \[ MN = \sqrt{(9 - 0)^2 + (24 - 12)^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \]
   • Найдем длину \( NK \): \[ NK = \sqrt{(0 - 9)^2 + (12 - 0)^2} = \sqrt{(-9)^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15 \]

3. Сравнение длин сторон:

   • Мы увидели, что все четыре стороны KLMN равны между собой и равны 15 см. Это означает, что KLMN – равносторонний четырехугольник.

4. Проверка диагоналей:

   • Найдем длину диагоналей \( KM \) и \( LN \):
     • Длина \( KM \): \[ KM = \sqrt{(9 - 9)^2 + (24 - 0)^2} = \sqrt{0 + 24^2} = 24 \]
     • Длина \( LN \): \[ LN = \sqrt{(0 - 18)^2 + (12 - 12)^2} = \sqrt{(-18)^2} = 18 \]

5. Заключение:

   • Так как все стороны равны, а сечения диагоналей равны на 90 градусов, то KLMN является ромбом.

Часть б): Найдите периметр и площадь KLMN.

1. Периметр ромба: \[ P = 4 \cdot KL = 4 \cdot 15 = 60 \text{ см} \]

2. Площадь ромба: Площадь ромба можно найти по формуле \( S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \), где \( d_1 \) и \( d_2 \) — длины диагоналей. \[ S = \frac{24 \cdot 18}{2} = \frac{432}{2} = 216 \text{ см}^2 \]

Ответы:

а) KLMN является ромбом.
б) Периметр \( KLMN = 60 \) см, площадь \( KLMN = 216 \) см².