Задание 2 (20 баллов). Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 2 : 7, считая от вершины тупого угла. Найдите меньшую сторону параллелограмма, если его периметр равен 64 см.

Для решения задачи используем свойства параллелограмма и биссектрисы угла. Давайте разберёмся шаг за шагом. ### Шаг 1: Понимание задачи Вам даны следующие данные: - Параллелограмм, у которого одна из сторон является тупым углом. - Биссектрису этого угла, которая делит противоположную сторону в отношении 2:7. - Периметр параллелограмма равен 64 см. ### Шаг 2: Обозначим стороны параллелограмма Обозначим стороны параллелограмма как \( a \) и \( b \), где \( a \) - меньшее основание, а \( b \) - большее. Так как периметр параллелограмма определяется как \( P = 2(a + b) \), мы можем записать следующее уравнение: \[ 2(a + b) = 64 \] Упростив его, получаем: \[ a + b = 32 \quad (1) \] ### Шаг 3: Используем свойства биссектрисы Биссектрисса делит противоположную сторону в отношении 2:7. Перейдем к обозначениям. Пусть точка деления – это \( D \). Если от вершины тупого угла (обозначим эту вершину как \( A \)) до точки \( D \) отложим \( 2k \) (где \( k \) - некоторый коэффициент), то от точки \( D \) до противоположной вершины (обозначим её как \( C \)) будет \( 7k \). Следовательно, полная длина стороны \( BC \) будет равна: \[ AD = 2k + 7k = 9k \quad (2) \] ### Шаг 4: Применение свойства параллелограмма В параллелограмме стороны \( AB \) и \( CD \) равны, а так же \( AD \) и \( BC \) равны. Значит: \[ b = 9k \quad (3) \] ### Шаг 5: Найдем соотношения Теперь, подставим (2) и (3) в уравнение (1): \[ a + 9k = 32 \quad (4) \] ### Шаг 6: Выразим \( a \) через \( k \) Из уравнения (4) выразим \( a \): \[ a = 32 - 9k \quad (5) \] ### Шаг 7: Условие ненулевых сторон Так как обе стороны должны быть положительными, получаем систему неравенств: 1. \( 32 - 9k > 0 \) (для \( a \)) 2. \( 9k > 0 \) (для \( b \)) Из первого неравенства: \[ 32 > 9k \implies k < \frac{32}{9} \approx 3.56 \] Из второго неравенства: \[ k > 0 \] ### Шаг 8: Найти стороны Теперь легко подставить значение \( k \) из этих границ. Так как мы знаем, что стороны должны быть целыми числами, давайте пробовать некоторый подходящий \( k \) в рамках допустимого диапазона. Проверим \( k = 2 \): 1. \( b = 9k = 9 * 2 = 18 \) 2. \( a = 32 - 9k = 32 - 18 = 14 \) ### Шаг 9: Периметр Проверим пересечения: \[ 2(a + b) = 2(14 + 18) = 2(32) = 64 \] Так что всё верно, и стороны параллелограмма – \( a = 14 \) см и \( b = 18 \) см. ### Ответ Меньшая сторона параллелограмма равна **14 см**.