Задание 2 (20 баллов). Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 2 : 7, считая от вершины тупого угла. Найдите меньшую сторону…

Для решения задачи используем свойства параллелограмма и биссектрисы угла. Давайте разберёмся шаг за шагом.

Шаг 1: Понимание задачи

Вам даны следующие данные:

• Параллелограмм, у которого одна из сторон является тупым углом.
• Биссектрису этого угла, которая делит противоположную сторону в отношении 2:7.
• Периметр параллелограмма равен 64 см.

Шаг 2: Обозначим стороны параллелограмма

Обозначим стороны параллелограмма как \( a \) и \( b \), где \( a \) - меньшее основание, а \( b \) - большее. Так как периметр параллелограмма определяется как \( P = 2(a + b) \), мы можем записать следующее уравнение:

\[ 2(a + b) = 64 \]

Упростив его, получаем:

\[ a + b = 32 \quad (1) \]

Шаг 3: Используем свойства биссектрисы

Биссектрисса делит противоположную сторону в отношении 2:7. Перейдем к обозначениям. Пусть точка деления – это \( D \). Если от вершины тупого угла (обозначим эту вершину как \( A \)) до точки \( D \) отложим \( 2k \) (где \( k \) - некоторый коэффициент), то от точки \( D \) до противоположной вершины (обозначим её как \( C \)) будет \( 7k \).

Следовательно, полная длина стороны \( BC \) будет равна:

\[ AD = 2k + 7k = 9k \quad (2) \]

Шаг 4: Применение свойства параллелограмма

В параллелограмме стороны \( AB \) и \( CD \) равны, а так же \( AD \) и \( BC \) равны. Значит:

\[ b = 9k \quad (3) \]

Шаг 5: Найдем соотношения

Теперь, подставим (2) и (3) в уравнение (1):

\[ a + 9k = 32 \quad (4) \]

Шаг 6: Выразим \( a \) через \( k \)

Из уравнения (4) выразим \( a \):

\[ a = 32 - 9k \quad (5) \]

Шаг 7: Условие ненулевых сторон

Так как обе стороны должны быть положительными, получаем систему неравенств:

1. \( 32 - 9k > 0 \) (для \( a \))
2. \( 9k > 0 \) (для \( b \))

Из первого неравенства:

\[ 32 > 9k \implies k < \frac{32}{9} \approx 3.56 \]

Из второго неравенства:

\[ k > 0 \]

Шаг 8: Найти стороны

Теперь легко подставить значение \( k \) из этих границ. Так как мы знаем, что стороны должны быть целыми числами, давайте пробовать некоторый подходящий \( k \) в рамках допустимого диапазона.

Проверим \( k = 2 \):

1. \( b = 9k = 9 * 2 = 18 \)
2. \( a = 32 - 9k = 32 - 18 = 14 \)

Шаг 9: Периметр

Проверим пересечения:

\[ 2(a + b) = 2(14 + 18) = 2(32) = 64 \]

Так что всё верно, и стороны параллелограмма – \( a = 14 \) см и \( b = 18 \) см.

Ответ

Меньшая сторона параллелограмма равна 14 см.