Решим обе задачи одну за другой, подробно объясняя каждый шаг.
Задача 1:
Дано: радиус окружности ( r = 12 , \text{см} ).
1) Площадь правильного треугольника, вписанного в окружность.
Сначала найдем длину стороны правильного треугольника ( a ), вписанного в окружность радиуса ( r ). Площадь правильного треугольника можно вычислить по формуле:
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
]
Чтобы найти сторону треугольника ( a ), воспользуемся формулой связи между радиусом вписанной окружности ( r ) и стороной треугольника:
[
a = r \cdot \sqrt{3}
]
Подставляя значение ( r ):
[
a = 12 \cdot \sqrt{3}
]
Теперь найдем площадь:
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} (12 \sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 144 \cdot 3 = \frac{432 \sqrt{3}}{4} = 108\sqrt{3} , \text{см}^2
]
Приблизительно:
[
S \approx 108 \cdot 1.732 = 186.96 , \text{см}^2 \text{ (округляем до } 187 , \text{см}^2)
]
2) Площадь правильного шестиугольника, описанного около окружности.
Площадь правильного шестиугольника можно выразить через радиус описанной окружности ( r ) следующим образом:
[
S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2
]
Где ( a ) — длина стороны шестиугольника. Длина стороны шестиугольника равна радиусу окружности ( r ):
[
a = r = 12 , \text{см}
]
Подставляем в формулу:
[
S = \frac{3\sqrt{3}}{2} (12)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 144 = 216\sqrt{3} , \text{см}^2
]
Приблизительно:
[
S \approx 216 \cdot 1.732 = 374.47 , \text{см}^2 \text{ (округляем до } 374 , \text{см}^2)
]
Задача 2:
Длина окружности арены: ( L = 66,568 , \text{м} ).
Чтобы найти площадь арены, сначала определим радиус ( r ) арены. Формула длины окружности:
[
L = 2 \pi r
]
Отсюда:
[
r = \frac{L}{2\pi}
]
Подставляем ( L ) и ( \pi ):
[
r = \frac{66,568}{2 \cdot 3,14} \approx \frac{66,568}{6,28} \approx 10,59 , \text{м}
]
Теперь найдём площадь круга арены по формуле:
[
S = \pi r^2
]
Подставляем значения:
[
S \approx 3,14 \cdot (10,59)^2 \approx 3,14 \cdot 112,11 \approx 351,62 , \text{м}^2
]
Округляем до десятых:
[
S \approx 351,6 , \text{м}^2
]
Ответы:
- Площадь вписанного правильного треугольника: ( 187 , \text{см}^2 ); площадь описанного правильного шестиугольника: ( 374 , \text{см}^2 ).
- Площадь арены: ( 351,6 , \text{м}^2 ).
