1. Дана окружность радиусом 12 см. Вычислите: 1) площадь правильного треугольника, вписанного в эту окружность; 2) площадь правильного шестиугольника, описанного около этой…

Решим обе задачи одну за другой, подробно объясняя каждый шаг.

Задача 1:

Дано: радиус окружности \( r = 12 \, \text{см} \).

1) Площадь правильного треугольника, вписанного в окружность.

Сначала найдем длину стороны правильного треугольника \( a \), вписанного в окружность радиуса \( r \). Площадь правильного треугольника можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] Чтобы найти сторону треугольника \( a \), воспользуемся формулой связи между радиусом вписанной окружности \( r \) и стороной треугольника: \[ a = r \cdot \sqrt{3} \] Подставляя значение \( r \): \[ a = 12 \cdot \sqrt{3} \]

Теперь найдем площадь: \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} (12 \sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 144 \cdot 3 = \frac{432 \sqrt{3}}{4} = 108\sqrt{3} \, \text{см}^2 \] Приблизительно: \[ S \approx 108 \cdot 1.732 = 186.96 \, \text{см}^2 \text{ (округляем до } 187 \, \text{см}^2) \]

2) Площадь правильного шестиугольника, описанного около окружности.

Площадь правильного шестиугольника можно выразить через радиус описанной окружности \( r \) следующим образом: \[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 \] Где \( a \) — длина стороны шестиугольника. Длина стороны шестиугольника равна радиусу окружности \( r \): \[ a = r = 12 \, \text{см} \] Подставляем в формулу: \[ S = \frac{3\sqrt{3}}{2} (12)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 144 = 216\sqrt{3} \, \text{см}^2 \] Приблизительно: \[ S \approx 216 \cdot 1.732 = 374.47 \, \text{см}^2 \text{ (округляем до } 374 \, \text{см}^2) \]

Задача 2:

Длина окружности арены: \( L = 66,568 \, \text{м} \).

Чтобы найти площадь арены, сначала определим радиус \( r \) арены. Формула длины окружности: \[ L = 2 \pi r \] Отсюда: \[ r = \frac{L}{2\pi} \] Подставляем \( L \) и \( \pi \): \[ r = \frac{66,568}{2 \cdot 3,14} \approx \frac{66,568}{6,28} \approx 10,59 \, \text{м} \]

Теперь найдём площадь круга арены по формуле: \[ S = \pi r^2 \] Подставляем значения: \[ S \approx 3,14 \cdot (10,59)^2 \approx 3,14 \cdot 112,11 \approx 351,62 \, \text{м}^2 \] Округляем до десятых: \[ S \approx 351,6 \, \text{м}^2 \]

Ответы:

1. Площадь вписанного правильного треугольника: \( 187 \, \text{см}^2 \); площадь описанного правильного шестиугольника: \( 374 \, \text{см}^2 \).
2. Площадь арены: \( 351,6 \, \text{м}^2 \).