Периметр прямоугольника 120см а его площадь 675 см2 найдите длины сторон прямоугольника
Давайте решим задачу пошагово.
У нас есть прямоугольник, периметр которого равен 120 см, а площадь — 675 см². Нам нужно найти длины его сторон, обозначим их как \(a\) (длина) и \(b\) (ширина).
Запишем формулы.
- Периметр прямоугольника: \[ P = 2(a + b) \]
- Площадь прямоугольника: \[ S = a \cdot b \]
Подставим известные значения в формулы.
- Для периметра: \[ 2(a + b) = 120 \] Разделим обе стороны уравнения на 2: \[ a + b = 60 \quad (1) \]
- Для площади: \[ a \cdot b = 675 \quad (2) \]
Выразим одну переменную через другую. Из уравнения (1) выразим \(b\): \[ b = 60 - a \quad (3) \]
Подставим (3) в уравнение (2). \[ a \cdot (60 - a) = 675 \] Раскроем скобки: \[ 60a - a^2 = 675 \] Переносим все в одну сторону: \[ -a^2 + 60a - 675 = 0 \] Умножим на -1, чтобы избавиться от минуса: \[ a^2 - 60a + 675 = 0 \]
Решим квадратное уравнение. Для решения используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Подставим \(a = 1\), \(b = -60\), \(c = 675\): \[ a = \frac{60 \pm \sqrt{(-60)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 675}}{2 \cdot 1} \] \[ a = \frac{60 \pm \sqrt{3600 - 2700}}{2} \] \[ a = \frac{60 \pm \sqrt{900}}{2} \] \[ a = \frac{60 \pm 30}{2} \] Теперь вычислим корни: \[ a_1 = \frac{90}{2} = 45 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{30}{2} = 15 \]
Найдем значение \(b\). Если \(a = 45\), то из (3): \[ b = 60 - 45 = 15 \] Если \(a = 15\), то: \[ b = 60 - 15 = 45 \]
Таким образом, длины сторон прямоугольника: \(a = 45\) см и \(b = 15\) см.
- Ответ. Длина одной стороны: 45 см, длина другой стороны: 15 см.
