Чтобы найти восьмой член геометрической прогрессии, сначала необходимо определить первый член и знаменатель прогрессии.
Шаг 1: Найти первый член и знаменатель
В геометрической прогрессии каждый следующий член получается путем умножения предыдущего члена на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии.
У нас есть:
- Первый член ( a_1 = 5\sqrt{3} )
- Второй член ( a_2 = 15 )
Знаменатель ( q ) можно найти следующим образом:
[
q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{15}{5\sqrt{3}}
]
Шаг 2: Упростить знаменатель
Упрощаем дробь:
[
q = \frac{15}{5\sqrt{3}} = \frac{15 \div 5}{5\sqrt{3} \div 5} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}
]
Таким образом, знаменатель прогрессии ( q = \sqrt{3} ).
Шаг 3: Общее правило для нахождения ( n )-го члена
Формула для нахождения ( n )-го члена геометрической прогрессии выглядит так:
[
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
]
Шаг 4: Найти восьмой член
Теперь подставим ( n = 8 ):
[
a_8 = a_1 \cdot q^{8-1} = 5\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3})^{7}
]
Вычислим ( (\sqrt{3})^{7} ):
[
(\sqrt{3})^{7} = 3^{7/2} = 3^3 \cdot \sqrt{3} = 27\sqrt{3}
]
Шаг 5: Подставить обратно в формулу
Теперь подставим это обратно в формулу для ( a_8 ):
[
a_8 = 5\sqrt{3} \cdot 27\sqrt{3}
]
Умножим:
[
a_8 = 5 \cdot 27 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 5 \cdot 27 \cdot 3 = 405
]
Ответ:
Восьмой член геометрической прогрессии равен ( 405 ).
