Найди восьмой член геометрической прогрессии: 5√3; 15; ...

Чтобы найти восьмой член геометрической прогрессии, сначала необходимо определить первый член и знаменатель прогрессии.

Шаг 1: Найти первый член и знаменатель

В геометрической прогрессии каждый следующий член получается путем умножения предыдущего члена на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии.

У нас есть:

• Первый член \( a_1 = 5\sqrt{3} \)
• Второй член \( a_2 = 15 \)

Знаменатель \( q \) можно найти следующим образом:

\[ q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{15}{5\sqrt{3}} \]

Шаг 2: Упростить знаменатель

Упрощаем дробь:

\[ q = \frac{15}{5\sqrt{3}} = \frac{15 \div 5}{5\sqrt{3} \div 5} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \]

Таким образом, знаменатель прогрессии \( q = \sqrt{3} \).

Шаг 3: Общее правило для нахождения \( n \)-го члена

Формула для нахождения \( n \)-го члена геометрической прогрессии выглядит так:

\[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \]

Шаг 4: Найти восьмой член

Теперь подставим \( n = 8 \):

\[ a_8 = a_1 \cdot q^{8-1} = 5\sqrt{3} \cdot (\sqrt{3})^{7} \]

Вычислим \( (\sqrt{3})^{7} \):

\[ (\sqrt{3})^{7} = 3^{7/2} = 3^3 \cdot \sqrt{3} = 27\sqrt{3} \]

Шаг 5: Подставить обратно в формулу

Теперь подставим это обратно в формулу для \( a_8 \):

\[ a_8 = 5\sqrt{3} \cdot 27\sqrt{3} \]

Умножим:

\[ a_8 = 5 \cdot 27 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 5 \cdot 27 \cdot 3 = 405 \]

Ответ:

Восьмой член геометрической прогрессии равен \( 405 \).