Чтобы доказать, что функция ( F ) является первообразной для функции ( f ), нам нужно показать, что производная функции ( F ) равна функции ( f ) в точках, где эти функции определены. Посмотрим каждую из задач отдельно.
Задача А:
Дано:
- ( F(x) = 8x - x^5 )
- ( f(x) = 8 - 5x^4 )
Шаг 1: Найдем производную ( F(x) )
Для нахождения производной функции ( F(x) ), будем использовать правило дифференцирования:
[
F'(x) = \frac{d}{dx} (8x) - \frac{d}{dx} (x^5)
]
Выносíme производные:
[
F'(x) = 8 - 5x^4
]
Шаг 2: Сравним с ( f(x) )
Мы видим, что:
[
F'(x) = 8 - 5x^4
]
[
f(x) = 8 - 5x^4
]
Таким образом, ( F'(x) = f(x) ). Это означает, что функция ( F(x) ) является первообразной функции ( f(x) ).
Задача Б:
Дано:
- ( F(x) = 2 \tan(x) - 3x )
- ( f(x) = \frac{2}{\cos^2(x)} - 3 )
Шаг 1: Найдем производную ( F(x) )
Опять же, мы воспользуемся правилом дифференцирования:
[
F'(x) = \frac{d}{dx} (2 \tan(x)) - \frac{d}{dx} (3x)
]
Используем производные функции ( \tan(x) ):
[
F'(x) = 2 \sec^2(x) - 3
]
Шаг 2: Сравним с ( f(x) )
Мы знаем, что ( \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} ), следовательно:
[
\sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}
]
Следовательно,
[
f(x) = 2 \sec^2(x) - 3
]
Таким образом, у нас:
[
F'(x) = 2 \sec^2(x) - 3
]
Сравнивая, мы видим, что:
[
F'(x) = f(x)
]
Следовательно, ( F(x) ) также является первообразной для функции ( f(x) ).
Заключение:
В обоих случаях мы доказали, что ( F ) является первообразной для функции ( f ).
