докажите что функция F является первообразной для функции f А) F(х)=8x-х в пятой степени,f(x)=8-5х в четвертой степени б) F(x)=2tgx -3x, f(x)= 2 делённый на cos во второй степени…

Чтобы доказать, что функция \( F \) является первообразной для функции \( f \), нам нужно показать, что производная функции \( F \) равна функции \( f \) в точках, где эти функции определены. Посмотрим каждую из задач отдельно.

Задача А:

Дано:

• \( F(x) = 8x - x^5 \)
• \( f(x) = 8 - 5x^4 \)

Шаг 1: Найдем производную \( F(x) \)
Для нахождения производной функции \( F(x) \), будем использовать правило дифференцирования:

\[ F'(x) = \frac{d}{dx} (8x) - \frac{d}{dx} (x^5) \]

Выносíme производные:

\[ F'(x) = 8 - 5x^4 \]

Шаг 2: Сравним с \( f(x) \)
Мы видим, что:

\[ F'(x) = 8 - 5x^4 \] \[ f(x) = 8 - 5x^4 \]

Таким образом, \( F'(x) = f(x) \). Это означает, что функция \( F(x) \) является первообразной функции \( f(x) \).

Задача Б:

Дано:

• \( F(x) = 2 \tan(x) - 3x \)
• \( f(x) = \frac{2}{\cos^2(x)} - 3 \)

Шаг 1: Найдем производную \( F(x) \)
Опять же, мы воспользуемся правилом дифференцирования:

\[ F'(x) = \frac{d}{dx} (2 \tan(x)) - \frac{d}{dx} (3x) \]

Используем производные функции \( \tan(x) \):

\[ F'(x) = 2 \sec^2(x) - 3 \]

Шаг 2: Сравним с \( f(x) \)
Мы знаем, что \( \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} \), следовательно:

\[ \sec^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \] Следовательно,

\[ f(x) = 2 \sec^2(x) - 3 \] Таким образом, у нас:

\[ F'(x) = 2 \sec^2(x) - 3 \]

Сравнивая, мы видим, что:

\[ F'(x) = f(x) \]

Следовательно, \( F(x) \) также является первообразной для функции \( f(x) \).

Заключение:

В обоих случаях мы доказали, что \( F \) является первообразной для функции \( f \).