найдите общий вид первообразной для функции: а) f(x)=3 cosx- 3 делённый на x в четвёртой степени б)f(x) = 2 cos2xsin2x

Чтобы найти общий вид первообразной (интеграл) для заданных функций, будем использовать правила интегрирования, такие как интегрирование элементарных функций и применение тригонометрических идентичностей.

Задача а)

Функция: \( f(x) = 3 \cos(x) - \frac{3}{x^4} \)

Шаг 1: Разделим функцию на две части

Мы можем интегрировать каждую часть функции отдельно: \[ \int f(x) \, dx = \int 3 \cos(x) \, dx - \int \frac{3}{x^4} \, dx \]

Шаг 2: Интегрируем каждую часть

1. Интеграл от \( 3 \cos(x) \): \[ \int 3 \cos(x) \, dx = 3 \sin(x) + C_1 \]

2. Интеграл от \( \frac{3}{x^4} \): \[ \int \frac{3}{x^4} \, dx = 3 \int x^{-4} \, dx = 3 \left(-\frac{1}{3} x^{-3}\right) + C_2 = -\frac{1}{x^3} + C_2 \]

Шаг 3: Объединим результаты

Теперь мы можем объединить обе части: \[ \int f(x) \, dx = 3 \sin(x) - \frac{1}{x^3} + C \] где \( C = C_1 + C_2 \) — произвольная константа.

Ответ для пункта а):

\[ \int f(x) \, dx = 3 \sin(x) - \frac{1}{x^3} + C \]

Задача б)

Функция: \( f(x) = 2 \cos(2x) \sin(2x) \)

Шаг 1: Используем тригонометрическую идентичность

Здесь мы можем воспользоваться тригонометрической формулой: \[ \sin(2A) = 2 \sin(A) \cos(A) \] Таким образом, можно переписать \( 2 \cos(2x) \sin(2x) \) как: \[ \sin(4x) \] То есть: \[ f(x) = \sin(4x) \]

Шаг 2: Интегрируем полученную функцию

Теперь нам нужно интегрировать \( \sin(4x) \): \[ \int \sin(4x) \, dx = -\frac{1}{4} \cos(4x) + C \]

Ответ для пункта б):

\[ \int f(x) \, dx = -\frac{1}{4} \cos(4x) + C \]

Итоговые ответы:

а) \( \int f(x) \, dx = 3 \sin(x) - \frac{1}{x^3} + C \)
б) \( \int f(x) \, dx = -\frac{1}{4} \cos(4x) + C \)

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужны пояснения по каким-либо аспектам, обязательно спрашивайте!