Чтобы найти общий вид первообразной (интеграл) для заданных функций, будем использовать правила интегрирования, такие как интегрирование элементарных функций и применение тригонометрических идентичностей.
Задача а)
Функция: ( f(x) = 3 \cos(x) - \frac{3}{x^4} )
Шаг 1: Разделим функцию на две части
Мы можем интегрировать каждую часть функции отдельно:
[ \int f(x) , dx = \int 3 \cos(x) , dx - \int \frac{3}{x^4} , dx ]
Шаг 2: Интегрируем каждую часть
Интеграл от ( 3 \cos(x) ):
[
\int 3 \cos(x) , dx = 3 \sin(x) + C_1
]
Интеграл от ( \frac{3}{x^4} ):
[
\int \frac{3}{x^4} , dx = 3 \int x^{-4} , dx = 3 \left(-\frac{1}{3} x^{-3}\right) + C_2 = -\frac{1}{x^3} + C_2
]
Шаг 3: Объединим результаты
Теперь мы можем объединить обе части:
[
\int f(x) , dx = 3 \sin(x) - \frac{1}{x^3} + C
]
где ( C = C_1 + C_2 ) — произвольная константа.
Ответ для пункта а):
[
\int f(x) , dx = 3 \sin(x) - \frac{1}{x^3} + C
]
Задача б)
Функция: ( f(x) = 2 \cos(2x) \sin(2x) )
Шаг 1: Используем тригонометрическую идентичность
Здесь мы можем воспользоваться тригонометрической формулой:
[
\sin(2A) = 2 \sin(A) \cos(A)
]
Таким образом, можно переписать ( 2 \cos(2x) \sin(2x) ) как:
[
\sin(4x)
]
То есть:
[
f(x) = \sin(4x)
]
Шаг 2: Интегрируем полученную функцию
Теперь нам нужно интегрировать ( \sin(4x) ):
[
\int \sin(4x) , dx = -\frac{1}{4} \cos(4x) + C
]
Ответ для пункта б):
[
\int f(x) , dx = -\frac{1}{4} \cos(4x) + C
]
Итоговые ответы:
а) ( \int f(x) , dx = 3 \sin(x) - \frac{1}{x^3} + C )
б) ( \int f(x) , dx = -\frac{1}{4} \cos(4x) + C )
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужны пояснения по каким-либо аспектам, обязательно спрашивайте!
