Реши все правильно, пж
Давайте разберем каждое задание.
1. Найдите координаты вершины параболы \( y = 6x^2 - 4x + 5 \).
Координаты вершины параболы \( y = ax^2 + bx + c \) находятся по формуле:
\[ x = -\frac{b}{2a} \]
Для данной функции: \( a = 6 \), \( b = -4 \).
\[ x = -\frac{-4}{2 \times 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \]
Теперь найдем \( y \)-координату, подставив \( x = \frac{1}{3} \) в уравнение:
\[ y = 6\left(\frac{1}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{3}\right) + 5 \]
\[ y = 6 \times \frac{1}{9} - \frac{4}{3} + 5 \]
\[ y = \frac{6}{9} - \frac{4}{3} + 5 \]
\[ y = \frac{2}{3} - \frac{4}{3} + 5 \]
\[ y = -\frac{2}{3} + 5 = \frac{15}{3} - \frac{2}{3} = \frac{13}{3} \]
Координаты вершины: \(\left( \frac{1}{3}, \frac{13}{3} \right)\).
2. Найдите значение выражения \( f\left(\frac{1}{2}\right) \), если функция \( f(x) = \frac{3x - 5}{x + 2} \).
Подставим \( x = \frac{1}{2} \) в функцию \( f(x) \):
\[ f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3\left(\frac{1}{2}\right) - 5}{\frac{1}{2} + 2} \]
\[ f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\frac{3}{2} - 5}{\frac{1}{2} + 2} \]
\[ f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\frac{3}{2} - \frac{10}{2}}{\frac{1}{2} + \frac{4}{2}} \]
\[ f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{-\frac{7}{2}}{\frac{5}{2}} \]
\[ f\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{7}{5} \]
3. Найдите разность \( \int\limits_{0}^{5} (3x^2 - 2x + 1) \, dx \).
Вычислим интеграл по частям:
\[ \int (3x^2 - 2x + 1) \, dx = \left[ x^3 - x^2 + x \right]_{0}^{5} \]
Подставляем пределы:
\[ \left[ (5)^3 - (5)^2 + (5) \right] - \left[ (0)^3 - (0)^2 + (0) \right] \]
\[ = (125 - 25 + 5) - 0 \]
\[ = 105 \]
4. Найдите значение выражения \(\frac{6a^2 - 15a}{3a}\).
Упростим выражение:
\[ \frac{6a^2 - 15a}{3a} = \frac{3a(2a - 5)}{3a} \]
Убираем одинаковые множители в числителе и знаменателе:
\[ = 2a - 5 \]
5. Распишите в виде суммы: \((a + 2)^2 + (a - 2)^2\).
Раскроем скобки:
\[ (a+2)^2 = a^2 + 4a + 4 \] \[ (a-2)^2 = a^2 - 4a + 4 \]
Сложим эти выражения:
\[ = a^2 + 4a + 4 + a^2 - 4a + 4 \]
\[ = 2a^2 + 8 \]
6. Найдите сумму корней квадратного уравнения \( 3x^2 - 4x - 6 = 0 \).
Для уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \), сумма корней равна \( -\frac{b}{a} \).
\[ a = 3, \, b = -4 \]
\[ \text{Сумма корней} = -\frac{-4}{3} = \frac{4}{3} \]
7. Не является ли первая точка вершиной графика данной функции \( y = (x - 1)^2 - 2 \).
Вершина параболы \( y = (x - 1)^2 - 2 \) находится путем определения вершины стандартной формы:
Координаты вершины: \( (1, -2) \).
Первая точка в списке: \((\frac{1}{3}, \frac{13}{3})\).
Эти точки не совпадают, следовательно, первая точка не является вершиной графика.
8. Решите совокупность неравенств:
\[ \begin{cases} x^2 + 2x \leq 0 \\ x - 3 \leq 0 \end{cases} \]
- \( x^2 + 2x \leq 0 \)
Решаем:
\[ x(x + 2) \leq 0 \]
Корни: \( x = 0 \), \( x = -2 \).
Знаки чередуются, поэтому:
\[ x \in [-2, 0] \]
- \( x - 3 \leq 0 \)
Решаем:
\[ x \leq 3 \]
Пересечение решений:
\[ x \in [-2, 0] \]
9. Решите неравенство \( 7 - 2(x - 5) \leq 3 \).
Разберем и решим неравенство:
\[ 7 - 2(x - 5) \leq 3 \]
\[ 7 - 2x + 10 \leq 3 \]
\[ 17 - 2x \leq 3 \]
\[ -2x \leq 3 - 17 \]
\[ -2x \leq -14 \]
Разделив на \(-2\), поменяем знак неравенства:
\[ x \geq 7 \]
10. Известно, что функция \( f(x) = ax^2 - bx + c \) принимает значения \( f(2) = 3 \) и \( f(3) = 2 \). Найдите значение выражения \((a-b+c)(f(4)-f(3))\).
Для \( f(x) = ax^2 - bx + c \):
\[ f(2) = a(4) - b(2) + c = 3 \]
\[ 4a - 2b + c = 3 \]
\[ f(3) = a(9) - b(3) + c = 2 \]
\[ 9a - 3b + c = 2 \]
Теперь найдем \( f(4) \):
\[ f(4) = a(16) - b(4) + c \]
Посчитаем разность \( f(4) - f(3) \):
\[ f(4) - f(3) = [16a - 4b + c] - [9a - 3b + c] \]
\[ = 16a - 4b + c - 9a + 3b - c \]
\[ = 7a - b \]
Теперь \( (a-b+c)(f(4) - f(3)) \):
У нас есть две уравнения с тремя неизвестными \( a, b, c \).
Для более точного ответа применяется метод подбора или дополнительная информация.
