5. Неупругие шары массами 3 и 2 кг двигаются в горизонтальной плоскости прямолинейно так, что их скорости взаимноперпендикулярны друг к другу и равны соответственно 2 и 4 м/с.…

Давайте решим задачу о неупругом соударении двух шаров с заданными массами и скоростями.

Условия задачи

• Масса первого шара \( m_1 = 3 \, \text{кг} \), скорость \( v_1 = 2 \, \text{м/с} \).
• Масса второго шара \( m_2 = 2 \, \text{кг} \), скорость \( v_2 = 4 \, \text{м/с} \).
• Скорости шаров перпендикулярны.

Цель

Мы должны найти скорость системы шаров после неупругого соударения.

Решение

1. Определение начальных векторов скоростей:

   Поскольку скорости взаимноперпендикулярны, мы можем отложить их на координатной плоскости. Предположим, что:

   • Шар 1 движется вдоль оси \( x \) с \( v_1 = 2 \, \text{м/с} \).
   • Шар 2 движется вдоль оси \( y \) с \( v_2 = 4 \, \text{м/с} \).

   Поэтому начальные скорости можно записать векторно: \[ \vec{v_1} = (2, 0) \, \text{м/с} \] \[ \vec{v_2} = (0, 4) \, \text{м/с} \]

2. Нахождение импульса до соударения:

   Импульс системы до соударения вычисляется по формуле: \[ \vec{P}_{\text{нач}} = m_1 \vec{v_1} + m_2 \vec{v_2} \]

   Подставляем значения: \[ \vec{P}_{\text{нач}} = 3 \cdot (2, 0) + 2 \cdot (0, 4) = (6, 0) + (0, 8) = (6, 8) \, \text{кг} \cdot \text{м/с} \]

3. Определение общей массы:

   Общая масса системы после соударения: \[ m_{\text{общ}} = m_1 + m_2 = 3 \, \text{кг} + 2 \, \text{кг} = 5 \, \text{кг} \]

4. Импульс после соударения:

   Согласно закону сохранения импульса, импульс системы до и после соударения равен: \[ \vec{P}_{\text{после}} = \vec{P}_{\text{нач}} \]

   Поэтому: \[ \vec{P}_{\text{после}} = m_{\text{общ}} \vec{v}_{\text{после}} \]

   Подставляем известные значения: \[ (6, 8) = 5 \vec{v}_{\text{после}} \]

5. Нахождение скорости системы после соударения:

   Разделим вектор импульса на общую массу: \[ \vec{v}_{\text{после}} = \frac{(6, 8)}{5} = \left(\frac{6}{5}, \frac{8}{5}\right) \]

   То есть: \[ \vec{v}_{\text{после}} = (1.2, 1.6) \, \text{м/с} \]

6. Нахождение модуля скорости:

   Чтобы найти модуль скорости \( v_{\text{после}} \): \[ v_{\text{после}} = \sqrt{(1.2)^2 + (1.6)^2} = \sqrt{1.44 + 2.56} = \sqrt{4} = 2 \, \text{м/с} \]

Ответ

После неупругого соударения скорость системы шаров равна \( \vec{v}_{\text{после}} = (1.2, 1.6) \, \text{м/с} \), а её модуль равен \( 2 \, \text{м/с} \).