Реши

Давайте разберёмся с данной задачей.

Наше выражение: \[ \frac{3\sin^2 x - \sin^2 x \cdot \cos^2 x}{4\sin^2 x + 2\cos^2 x} \]

Шаг 1: Упростим числитель

Числитель: \(3\sin^2 x - \sin^2 x \cdot \cos^2 x\).

Можно вынести \(\sin^2 x\) за скобки: \[ \sin^2 x (3 - \cos^2 x) \]

По тригонометрической идентичности \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\), следовательно: \[ 3 - \cos^2 x = 3 - (1 - \sin^2 x) = 2 + \sin^2 x \]

Таким образом, числитель превращается в: \[ \sin^2 x (2 + \sin^2 x) \]

Шаг 2: Упростим знаменатель

Знаменатель: \(4\sin^2 x + 2\cos^2 x\).

Опять же, используем идентичность \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\): \[ 2\cos^2 x = 2(1 - \sin^2 x) = 2 - 2\sin^2 x \]

Поэтому знаменатель преобразуется: \[ 4\sin^2 x + 2 - 2\sin^2 x = 2\sin^2 x + 2 \]

Шаг 3: Подставляем упрощенные выражения

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель: \[ \frac{\sin^2 x (2 + \sin^2 x)}{2\sin^2 x + 2} \]

Шаг 4: Упростим дробь

Разделим числитель и знаменатель на 2 + \(\sin^2 x\), если возможно: \[ 2 + \sin^2 x \neq 0 \]

При разделе получаем: \[ \frac{\sin^2 x}{1} = \sin^2 x \]

Ответ

Окончательный ответ: \(\sin^2 x\).

Этот результат справедлив при условии, что \(2 + \sin^2 x \neq 0\), то есть \(\sin^2 x \neq -2\), что всегда верно для действительных значений \(\sin x\).