Давайте разберем каждое из утверждений по отдельности, основываясь на том, что у нас есть правильный четырёхугольник со стороной ( \sqrt{2} ).
О правильном четырёхугольнике:
Правильный четырёхугольник — это квадрат. У него все стороны равны и все углы прямые.
Параметры квадрата:
- Сторона квадрата ( a = \sqrt{2} ).
- Периметр квадрата ( P = 4a = 4\sqrt{2} ).
- Площадь квадрата ( S = a^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 ).
1) Радиус вписанной окружности (r):
Радиус вписанной окружности для квадрата вычисляется по формуле:
[
r = \frac{a}{2}
]
Подставляем значение стороны:
[
r = \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Таким образом, это утверждение верно.
2) Площадь круга, описанного около квадрата (S):
Радиус описанной окружности ( R ) для квадрата вычисляется по формуле:
[
R = \frac{a\sqrt{2}}{2}
]
Подставляем значение стороны:
[
R = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} = 1
]
Теперь находим площадь круга:
[
S = \pi R^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi
]
Таким образом, это утверждение также верно.
3) Радиус описанной окружности:
Мы уже нашли, что радиус ( R = 1 ). Поэтому данное утверждение, что радиус описанной окружности равен 2, неверно.
4) Площадь треугольника:
Так как мы имеем дело с квадратом, мы можем рассмотреть квадрат как состоящий из двух одинаковых треугольников, если провести диагональ. Площадь одного из треугольников равна:
[
S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1
]
Таким образом, площадь треугольника не равна двум, поэтому это утверждение неверно.
Итоговые результаты:
- Верно: ( r = \frac{\sqrt{2}}{2} )
- Верно: Площадь равна ( \pi )
- Неверно: радиус описанной окружности равен 1
- Неверно: площадь треугольника равна 1
Таким образом, верными являются утверждения 1 и 2.
