дан правильный четырёхугольник со стороной √2. какие утверждения о нём будут верны 1) радио списанный в четырёхугольник окружности равен √2 / 2 2) площадь круга ограниченного…

Давайте разберем каждое из утверждений по отдельности, основываясь на том, что у нас есть правильный четырёхугольник со стороной \( \sqrt{2} \).

О правильном четырёхугольнике:

Правильный четырёхугольник — это квадрат. У него все стороны равны и все углы прямые.

Параметры квадрата:

• Сторона квадрата \( a = \sqrt{2} \).
• Периметр квадрата \( P = 4a = 4\sqrt{2} \).
• Площадь квадрата \( S = a^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 \).

1) Радиус вписанной окружности (r):

Радиус вписанной окружности для квадрата вычисляется по формуле: \[ r = \frac{a}{2} \] Подставляем значение стороны: \[ r = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Таким образом, это утверждение верно.

2) Площадь круга, описанного около квадрата (S):

Радиус описанной окружности \( R \) для квадрата вычисляется по формуле: \[ R = \frac{a\sqrt{2}}{2} \] Подставляем значение стороны: \[ R = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] Теперь находим площадь круга: \[ S = \pi R^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi \] Таким образом, это утверждение также верно.

3) Радиус описанной окружности:

Мы уже нашли, что радиус \( R = 1 \). Поэтому данное утверждение, что радиус описанной окружности равен 2, неверно.

4) Площадь треугольника:

Так как мы имеем дело с квадратом, мы можем рассмотреть квадрат как состоящий из двух одинаковых треугольников, если провести диагональ. Площадь одного из треугольников равна: \[ S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 \] Таким образом, площадь треугольника не равна двум, поэтому это утверждение неверно.

Итоговые результаты:

1. Верно: \( r = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
2. Верно: Площадь равна \( \pi \)
3. Неверно: радиус описанной окружности равен 1
4. Неверно: площадь треугольника равна 1

Таким образом, верными являются утверждения 1 и 2.