Чтобы решить задачу, давайте сначала проанализируем, как устроены строки с квадратами.
- Определим количество квадратов в строках:
- В первой строке у нас 1 квадрат.
- Во второй строке на 4 квадрата больше, чем в первой: ( 1 + 4 = 5 ) квадратов.
- В третьей строке также на 4 квадрата больше, чем во второй: ( 5 + 4 = 9 ) квадратов.
Таким образом, мы видим закономерность:
- Количество квадратов в первой строке: ( a_1 = 1 )
- Количество квадратов во второй строке: ( a_2 = 1 + 4 = 5 )
- Количество квадратов в третьей строке: ( a_3 = 5 + 4 = 9 )
Этот процесс можно описать с помощью формулы для общего члена арифметической прогрессии:
[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d ]
где:
- ( a_n ) — количество квадратов в n-ой строке,
- ( a_1 = 1 ) — количество квадратов в первой строке,
- ( d = 4 ) — разность между членами прогрессии,
- ( n ) — номер строки.
Поэтому для n-ой строки, количество квадратов выглядит так:
[ a_n = 1 + (n - 1) \cdot 4 = 1 + 4n - 4 = 4n - 3 ]
- Теперь найдем общее количество квадратов в первых 20 строках:
Чтобы найти общее количество квадратов, мы сложим количество квадратов в каждой из первых 20 строк.
[ S_{20} = a_1 + a_2 + a_3 + \ldots + a_{20} ]
Подставим количество квадратов для каждой строки:
[ S_{20} = (4 \cdot 1 - 3) + (4 \cdot 2 - 3) + (4 \cdot 3 - 3) + \ldots + (4 \cdot 20 - 3) ]
Это можно упростить:
[ S_{20} = (4 \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + \ldots + 4 \cdot 20) - (3 \cdot 20) ]
Можно вынести 4 за скобки:
[ S_{20} = 4(1 + 2 + 3 + \ldots + 20) - 60 ]
Сумма первых n натуральных чисел:
Сумму первых n натуральных чисел можно найти по формуле:
[ \text{Сумма} = \frac{n(n + 1)}{2} ]
Для n = 20:
[ 1 + 2 + 3 + \ldots + 20 = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210 ]
Теперь подставим в формулу для S:
[ S_{20} = 4 \cdot 210 - 60 = 840 - 60 = 780 ]
Таким образом, общее количество квадратов в первых 20 строках составляет 780.
