На занятии в математическом кружке предложили сыграть в игру и на доске написали некоторое число. По условиям, можно стереть последнюю цифру или прибавить к написанному числу 2016…
На занятии в математическом кружке предложили сыграть в игру и на доске написали некоторое число. По условиям, можно стереть последнюю цифру или прибавить к написанному числу 2016 и записать полученную сумму, при этом стереть предыдущее число. Играет один человек и указанные действия в любом порядке можно выполнять неограниченное число раз. Получится ли при каком-нибудь исходе увидеть на доске число 1?
Чтобы выяснить, возможно ли в данной игре получить число 1, давайте проанализируем доступные действия и их последствия.
Действия, доступные игроку:
Стереть последнюю цифру — это действие можно рассматривать как деление числа на 10 (например, число 4565 после данной операции станет 456).
Прибавить 2016 — это действие просто добавляет 2016 к текущему числу.
Анализ чисел:
Мы можем начать наблюдать за числами, полученными в результате выполнения этих операций. Итак, определим, каким образом число 1 может быть получено.
Исходный анализ:
Первое, что мы можем сделать, это посмотреть на то, как каждое из действий изменяет остаток от деления на 10.
Стирание последней цифры:
- Если у нас есть число \(x\), то при стирании последней цифры получится число \( \frac{x - (x \mod 10)}{10} \).
- Это действие всегда уменьшает количество цифр в числе, пока мы не достигнем нуля.
Прибавление 2016:
- При добавлении 2016 к \(x\) можно рассмотреть, какой остаток числа будет при делении на 10. Остаток от 2016 равен 6, то есть \(x + 2016 \equiv x + 6 \mod 10\).
- Это действие меняет последнюю цифру числа, добавляя к ней 6.
Достигнем ли мы числа 1?
Теперь давайте рассмотрим, можно ли получить число 1, следуя вышеуказанным правилам. Попробуем начать с числа, которое может стать 1 после выполнения операций.
Прямой путь:
Для этого логично идти в обратную сторону: как мы можем получить 1?
- Если у нас есть число 1, то, прибавив 2016, мы получим 2017.
- Если мы возьмем 2017 и сделаем операцию "стереть последнюю цифру", мы получим 201.
- Дальше можно прибавить 2016 к 201 и так далее.
Однако важно заметить, что при каждом добавлении 2016 мы увеличиваем число и, если потребуется снова стереть последнюю цифру, это будет приводить к более высокому значению.
Через остатки на 10:
Теперь обратим внимание на возможные остатки от деления на 10. После каждого прибавления 2016 к числу мы всегда будем изменять последнюю цифру числа, и это нужно проанализировать:
- Последние цифры 2016, 4032, 6048 и т.д. всегда будут оставаться 6, что не позволяет нам дойти до числа 1, исходя из последней цифры.
Заключение:
После более тщательного анализа, становится ясно, что последняя цифра чисел, которые можно получить путем выполнения описанных операций (стирание последней цифры и прибавление 2016), не даст в результате число 1. Мы никогда не сможем получить цифру 1, так как она не возникает в результате приращения 6 (или прибавления 2016), которое сохраняет определенные остатки.
Таким образом, ответ на вопрос: Нет, нельзя получить число 1 в ходе данной игры.
