17.В студенческой группе 12 юношей и 8 девушек. Наугад выбираются 9 студентов. А - выбрано 4 девушки и 5 юношей В - все выбранные - девушки. С - выбрано не менее 1 юноши. D - выбрано не более 8 девушек. Е - выбрано не менее 4 девушек. F - все выбранные - юноши.

Давайте разберем задачу, используя комбинаторные методы, чтобы понять, сколько существует способов выбрать студентов, удовлетворяющих указанным условиям. У нас есть 12 юношей и 8 девушек. Всего студентов 20. ### А) Выбрано 4 девушки и 5 юношей 1. **Количество способов выбрать 4 девушек из 8**: Используем комбинации. Количество способов выбрать \( k \) объектов из \( n \) дается формулой: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] В нашем случае: \[ C(8, 4) = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70 \] 2. **Количество способов выбрать 5 юношей из 12**: \[ C(12, 5) = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792 \] 3. **Общее количество способов**: Мы перемножаем количество способов выбрать девушек и юношей: \[ C(8, 4) \times C(12, 5) = 70 \times 792 = 55360 \] ### B) Все выбранные - девушки Здесь мы выбираем 9 девушек из 8. Это невозможно, так как девушек меньше, чем 9. Количество способов равно 0. \[ C(8, 9) = 0 \] ### C) Выбрано не менее 1 юноши Здесь проще посчитать количество способов выбрать 9 студентов и вычесть способы, при которых юношей нет. 1. **Общее количество способов выбрать любую группу из 9 студентов**: \[ C(20, 9) = \frac{20!}{9!(20-9)!} = 167960 \] 2. **Количество способов выбрать 9 девушек (и, следовательно, 0 юношей)**: Как мы уже обсудили, это 0: \[ C(8, 9) = 0 \] 3. **Общее количество способов выбрать 9 студентов с хотя бы одним юношей**: \[ C(20, 9) - C(8, 9) = 167960 - 0 = 167960 \] ### D) Выбрано не более 8 девушек Сколько способов выбрать 9 студентов так, чтобы девушек было не более 8? Это условие выполняется всегда, так как всего девушек 8 и мы выбираем 9 студентов. Сравнивая с общим выбором, имеем: \[ C(20, 9) = 167960 \] ### E) Выбрано не менее 4 девушек Опять же, чтобы разобраться, можем посчитать количество способов для каждой возможности 4, 5, 6, 7 и 8 девушек и вычестить их. 1. **4 девушки**: Определяем количество юношей как \( 9 - 4 = 5 \). \[ C(8, 4) \times C(12, 5) = 70 \times 792 = 55360 \] 2. **5 девушек**: Количество юношей \( 9 - 5 = 4 \). \[ C(8, 5) \times C(12, 4) = 56 \times 495 = 27720 \] 3. **6 девушек**: Количество юношей \( 9 - 6 = 3 \). \[ C(8, 6) \times C(12, 3) = 28 \times 220 = 6160 \] 4. **7 девушек**: Количество юношей \( 9 - 7 = 2 \). \[ C(8, 7) \times C(12, 2) = 8 \times 66 = 528 \] 5. **8 девушек**: Количество юношей \( 9 - 8 = 1 \). \[ C(8, 8) \times C(12, 1) = 1 \times 12 = 12 \] Теперь сложим все возможные комбинации: \[ 55360 + 27720 + 6160 + 528 + 12 = 88780 \] ### F) Все выбранные - юноши Мы выбираем 9 юношей из 12, но это тоже невозможно, так как юношей меньше, чем 9. Количество способов равно 0. \[ C(12, 9) = 0 \] ### Итог - **A**: 55360 - **B**: 0 - **C**: 167960 - **D**: 167960 - **E**: 88780 - **F**: 0 Этот подробный разбор должен помочь лучше понять, как мы пришли к каждому из ответов! Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно больше объяснений, не стесняйтесь спрашивать!