1) y=4-2x-7x² исследуйте функцию и сделайте график 2) y=9+8x²-x⁴ исследуйте функцию и сделайте график 3) y=2-x²+x исследуйте функцию и сделайте график

Давайте разберемся с каждой из предложенных функций. Мы исследуем каждую функцию, определяем их важные характеристики (такие как нули, экстремумы, и асимптоты) и строим график. ### 1) Функция \( y = 4 - 2x - 7x^2 \) **Шаг 1: Определение типа функции** Это квадратная функция, поскольку у нас есть член \( x^2 \). **Шаг 2: Нахождение корней** Для нахождения нулей функции (где \( y = 0 \)), решим уравнение: \[ 0 = 4 - 2x - 7x^2 \] Перепишем его: \[ 7x^2 + 2x - 4 = 0 \] Используем дискриминант \( D = b^2 - 4ac \): \[ D = 2^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-4) = 4 + 112 = 116 \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{116}}{2 \cdot 7} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{29}}{14} \] Следовательно, корни функции: \[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{29}}{7}, \quad x_2 = \frac{-1 - \sqrt{29}}{7} \] **Шаг 3: Нахождение экстремумов** Находим производную: \[ y' = -2 - 14x \] Приравняем к нулю для нахождения стационарных точек: \[ -2 - 14x = 0 \implies x = -\frac{1}{7} \] Подставим \( x = -\frac{1}{7} \) в исходную функцию для нахождения \( y \): \[ y = 4 - 2\left(-\frac{1}{7}\right) - 7\left(-\frac{1}{7}\right)^2 = 4 + \frac{2}{7} - \frac{7}{49} = 4 + \frac{2}{7} - \frac{1}{7} = 4 + \frac{1}{7} = \frac{29}{7} \] Это максимум, так как \( a < 0 \) (парабола направлена вниз). **Шаг 4: Анализ поведения функции** Парабола открыта вниз, имеет максимум в точке \( \left(-\frac{1}{7}, \frac{29}{7}\right) \). **Шаг 5: График функции** График функции будет иметь форму перевернутой параболы. Укажите корни и максимумы на графике. --- ### 2) Функция \( y = 9 + 8x^2 - x^4 \) **Шаг 1: Определение типа функции** Это также многочлен четвертой степени. **Шаг 2: Нахождение корней** Решаем уравнение: \[ 0 = 9 + 8x^2 - x^4 \implies x^4 - 8x^2 - 9 = 0 \] Обозначим \( z = x^2 \): \[ z^2 - 8z - 9 = 0 \] Находим дискриминант: \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 \] Корни: \[ z_{1,2} = \frac{8 \pm 10}{2} = 9, -1 \] Так как \( z = x^2 \geq 0 \), берем \( z = 9 \): \[ x^2 = 9 \implies x = 3 \text{ или } x = -3 \] **Шаг 3: Нахождение экстремумов** Находим производную: \[ y' = 16x - 4x^3 \] Приравняем к нулю: \[ 4x(4 - x^2) = 0 \implies x = 0, \pm 2 \] Точки экстремума: \( x = 0 \), \( x = 2 \), \( x = -2 \). **Шаг 4: Значения в экстремумах** Подставляем значения в исходную функцию для нахождения \( y \): - \( y(0) = 9 \) - \( y(2) = 9 + 8(2)^2 - (2)^4 = 9 + 32 - 16 = 25 \) - \( y(-2) = 9 + 32 - 16 = 25 \) **Шаг 5: Поведение функции** Парабола \( y \) имеет два максимума \( (2, 25) \) и \( (-2, 25) \) и проходит через \( (3, 0) \) и \( (-3, 0) \). --- ### 3) Функция \( y = 2 - x^2 + x \) **Шаг 1: Определение типа функции** Это квадратная функция. **Шаг 2: Нахождение корней** Решаем \( 0 = 2 - x^2 + x \): \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Находим дискриминант: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \] Корни: \[ x_{1,2} = \frac{1 \pm 3}{2} \implies x_1 = 2, x_2 = -1 \] **Шаг 3: Нахождение экстремумов** Находим производную: \[ y' = -2 + 1 = -1 \] Поскольку производная всегда отрицательна, функция убывает на всем диапазоне. **Шаг 4: Значения в корнях** Подставляем значения корней: - \( y(2) = 0 \) - \( y(-1) = 2 - (-1)^2 + (-1) = 2 - 1 - 1 = 0 \) Точка функции: - Когда \( x = 0 \), \( y = 2 \). **Шаг 5: Поведение функции** Функция убывает с максимумом в \( (0, 2) \). --- ### Графики Для графиков каждой из функций вы можете использовать графический калькулятор или специализированные программы по построению графиков, такие как Desmos или GeoGebra, чтобы наглядно увидеть поведение каждой из функций. Если что-то осталось непонятным, дайте знать!