Чтобы найти скалярное произведение векторов ( \vec{AB} ) и ( \vec{AC} ), сначала нужно определить координаты этих векторов.
Шаг 1: Найдем координаты векторов ( \vec{AB} ) и ( \vec{AC} )
Вектор ( \vec{AB} ) можно вычислить как разность координат точек B и A:
[
\vec{AB} = B - A = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)
]
Подставим значения точек ( A(1, 2, -1) ) и ( B(2, 3, 0) ):
[
\vec{AB} = (2 - 1, 3 - 2, 0 + 1) = (1, 1, 1)
]
Теперь найдем вектор ( \vec{AC} ):
[
\vec{AC} = C - A = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A)
]
Подставим значения точек ( A(1, 2, -1) ) и ( C(3, 6, 3) ):
[
\vec{AC} = (3 - 1, 6 - 2, 3 + 1) = (2, 4, 4)
]
Шаг 2: Вычислим скалярное произведение векторов ( \vec{AB} ) и ( \vec{AC} )
Скалярное произведение двух векторов ( (x_1, y_1, z_1) ) и ( (x_2, y_2, z_2) ) рассчитывается по формуле:
[
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2
]
В нашем случае:
[
\vec{AB} = (1, 1, 1)
]
[
\vec{AC} = (2, 4, 4)
]
Подставляем значения в формулу:
[
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 4
]
Шаг 3: Выполним вычисления
Теперь произведем расчеты:
[
1 \cdot 2 = 2
]
[
1 \cdot 4 = 4
]
[
1 \cdot 4 = 4
]
Теперь суммируем все результаты:
[
\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 + 4 + 4 = 10
]
Ответ
Скалярное произведение векторов ( \vec{AB} ) и ( \vec{AC} ) равно 10.
