Даны точки А(1; 2; -1), B(2; 3; 0), C(3; 6; 3) и D(0; 0; -4). Найти скалярное произведение векторов АВ и АС
Чтобы найти скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \), сначала нужно определить координаты этих векторов.
Шаг 1: Найдем координаты векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \)
Вектор \( \vec{AB} \) можно вычислить как разность координат точек B и A:
\[ \vec{AB} = B - A = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) \]
Подставим значения точек \( A(1, 2, -1) \) и \( B(2, 3, 0) \):
\[ \vec{AB} = (2 - 1, 3 - 2, 0 + 1) = (1, 1, 1) \]
Теперь найдем вектор \( \vec{AC} \):
\[ \vec{AC} = C - A = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A) \]
Подставим значения точек \( A(1, 2, -1) \) и \( C(3, 6, 3) \):
\[ \vec{AC} = (3 - 1, 6 - 2, 3 + 1) = (2, 4, 4) \]
Шаг 2: Вычислим скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \)
Скалярное произведение двух векторов \( (x_1, y_1, z_1) \) и \( (x_2, y_2, z_2) \) рассчитывается по формуле:
\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 + z_1 \cdot z_2 \]
В нашем случае:
\[ \vec{AB} = (1, 1, 1) \] \[ \vec{AC} = (2, 4, 4) \]
Подставляем значения в формулу:
\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 4 \]
Шаг 3: Выполним вычисления
Теперь произведем расчеты:
\[ 1 \cdot 2 = 2 \] \[ 1 \cdot 4 = 4 \] \[ 1 \cdot 4 = 4 \]
Теперь суммируем все результаты:
\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2 + 4 + 4 = 10 \]
Ответ
Скалярное произведение векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) равно 10.
