Давай разберем эту задачу пошагово.
Дано:
У нас есть зависимость угловой скорости ( \omega(t) = 2 + 0.5t ), где ( \omega ) — это угловая скорость в радианах в секунду, а ( t ) — время в секундах. Нам нужно найти общее число оборотов ( N ), совершенных телом за первые 20 секунд.
Шаг 1: Найти угловое ускорение и изменение угловой скорости
Мы видим, что угловая скорость ( \omega ) зависит от времени. В этом случае угловое ускорение можно найти как производную от угловой скорости:
[
\alpha = \frac{d\omega}{dt} = 0.5 \text{ рад/с}^2
]
Из данного уравнения видно, что угловая скорость изменяется линейно со временем.
Шаг 2: Найти изменения угловой скорости за первые 20 секунд
Теперь мы можем определить угловую скорость ( \omega ) через 20 секунд:
[
\omega(20) = 2 + 0.5 \cdot 20 = 2 + 10 = 12 \text{ рад/с}
]
Шаг 3: Найти общее изменение угловой скорости за 20 секунд
Для нахождения общего изменения угловой скорости нам нужно рассчитать интеграл угловой скорости по времени от 0 до 20 секунд:
[
\theta = \int_{0}^{20} \omega(t) , dt = \int_{0}^{20} (2 + 0.5t) , dt
]
Шаг 4: Интегрируем функцию
Решим интеграл:
[
\theta = \int_{0}^{20} (2 + 0.5t) , dt = \left[2t + 0.25t^2\right]_{0}^{20}
]
Теперь подставляем пределы интегрирования:
[
\theta = (2 \cdot 20 + 0.25 \cdot 20^2) - (2 \cdot 0 + 0.25 \cdot 0^2) = 40 + 0.25 \cdot 400 = 40 + 100 = 140 \text{ рад}
]
Шаг 5: Перевод радиан в обороты
Теперь нам нужно перевести полученное значение угла в радианах в количество оборотов. Один полный оборот соответствует ( 2\pi ) радианам.
[
N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{140}{2\pi} \approx \frac{140}{6.28} \approx 22.29
]
Поскольку нас интересует полное число оборотов, округляем до целого числа:
[
N \approx 22
]
Ответ
За первые 20 секунд тело совершает примерно 22 полных оборота.
