На воздушном шаре объёмом 400 м³, масса оболочки которого 30 кг, планируют поднять груз массой 86 кг. Во сколько раз при этом плотность горячего воздуха внутри шара должна быть…

Для решения задачи нам нужно использовать принцип Архимеда и формулы для плотности. Давайте разберем решение шаг за шагом.

1. Определим плотность окружающего воздуха.
   Для того чтобы решить задачу, нам нужно знать плотность окружающего воздуха \( \rho_{\text{воз}} \). Принято считать, что при нормальных условиях (температура около 20 °C и атмосферное давление) плотность воздуха составляет примерно \( 1.2 \, \text{кг/м}^3 \).

2. Вычислим общую массу системы.
   Сначала определим общую массу, которую планируют поднять:

   • Масса оболочки шара: \( m_{\text{шара}} = 30 \, \text{кг} \)
   • Масса груза: \( m_{\text{груза}} = 86 \, \text{кг} \)
   • Общая масса: \[ m_{\text{общ}} = m_{\text{шара}} + m_{\text{груза}} = 30 \, \text{кг} + 86 \, \text{кг} = 116 \, \text{кг} \]

3. Вычислим подъемную силу.
   Подъемная сила, действующая на шар, равна весу объема воздуха, вытесняемого шаром. Мы можем рассчитать его следующим образом: \[ F_{\text{подъем}} = V \cdot \rho_{\text{воз}} \cdot g \] где:

   • \( V = 400 \, \text{м}^3 \) – объем шара,
   • \( \rho_{\text{воз}} = 1.2 \, \text{кг/м}^3 \) – плотность окружающего воздуха,
   • \( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 \) – ускорение свободного падения.

   Подъемная сила будет: \[ F_{\text{подъем}} = 400 \, \text{м}^3 \cdot 1.2 \, \text{кг/м}^3 \cdot 9.81 \, \text{м/с}^2 = 400 \cdot 1.2 \cdot 9.81 \approx 4700.8 \, \text{Н} \]

4. Вычислим вес поднимаемой массы.
   Вес поднимаемой массы (общей массы), который необходимо обеспечить подъемной силой равен: \[ F_{\text{масс}} = m_{\text{общ}} \cdot g = 116 \, \text{кг} \cdot 9.81 \, \text{м/с}^2 \approx 1136.76 \, \text{Н} \]

5. Настоящая плотность воздуха внутри шара.
   Чтобы шар поднялся, подъемная сила должна быть больше или равной весу поднимаемой массы: \[ F_{\text{подъем}} \geq F_{\text{масс}} \]

   Подъемная сила зависит от плотности воздуха внутри шара (\( \rho_{\text{возд}} \)): \[ F_{\text{подъем}} = V \cdot \rho_{\text{возд}} \cdot g \] Таким образом, нам нужно, чтобы: \[ V \cdot \rho_{\text{возд}} \cdot g = m_{\text{общ}} \cdot g \] Упрощая уравнение, мы можем избавиться от \( g \) (так как оно равно с обеих сторон): \[ V \cdot \rho_{\text{возд}} = m_{\text{общ}} \] Отсюда: \[ \rho_{\text{возд}} = \frac{m_{\text{общ}}}{V} = \frac{116 \, \text{кг}}{400 \, \text{м}^3} = 0.29 \, \text{кг/м}^3 \]

6. Вычислим, во сколько раз плотность горячего воздуха меньше плотности окружающего воздуха.
   Теперь вычислим отношение плотностей: \[ \frac{\rho_{\text{воз}}}{\rho_{\text{возд}}} = \frac{1.2 \, \text{кг/м}^3}{0.29 \, \text{кг/м}^3} \approx 4.14 \]

Итак, плотность горячего воздуха внутри шара должна быть меньше плотности окружающего воздуха приблизительно в 4.14 раз.